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Suma de los cubos de los \(n\) primeros números naturales.

Suma de los cubos de los \(n\) primeros números naturales. Una demostración algebraica y otra gráfica

En este artículo se deducía que la suma \(S_1=1+2+3+\ldots+n\) de los \(n\) primeros números naturales viene dada por la fórmula

\[S_1=\frac{n(n+1)}{2}\]

También deducíamos que la suma \(S_2=1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2\) de los cuadrados de los \(n\) primeros números naturales es

\[S_2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\]

Un procedimiento similar permite deducir la suma \(S_3=1^3+2^3+3^3+\ldots+n^3\) de los cubos de los \(n\) primeros números naturales. Veámoslo. Para ello utilizaremos las dos fórmulas anteriores y el desarrollo de un binomio de exponente 4, que es

\[(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4\]

Observemos pues los siguientes desarrollos:

\[1^4=(1+0)^4=1^4\]

\[2^4=(1+1)^4=1^4+4\cdot1^3\cdot1+6\cdot1^2\cdot1^2+4\cdot1\cdot1^3+1^4\]

\[3^4=(1+2)^4=1^4+4\cdot1^3\cdot2+6\cdot1^2\cdot2^2+4\cdot1\cdot2^3+2^4\]

\[4^4=(1+3)^4=1^4+4\cdot1^3\cdot3+6\cdot1^2\cdot3^2+4\cdot1\cdot3^3+3^4\]

\[\ldots\ldots\]

\[(n+1)^4=(1+n)^4=1^4+4\cdot1^3\cdot n+6\cdot1^2\cdot n^2+4\cdot1\cdot n^3+n^4\]

Sumando el primer miembro y el último de cada una de las igualdades tenemos:

\[1^4+2^4+3^4+4^4+\ldots+(n+1)^4=(n+1)+4\cdot(1+2+3+\ldots+n)+\]

\[+6\cdot(1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2)+4\cdot(1^3+2^3+3^3+\ldots+n^3)+\]

\[+(1^4+2^4+3^4+\ldots+n^4)\]

Pasando el último sumando al primer miembro tenemos:

\[(n+1)^4=(n+1)+4\cdot S_1+6\cdot S_2+4\cdot S_3\]

Y de aquí, sustituyendo y despejando obtenemos una fórmula para la suma \(S_3\) de los cubos de los \(n\) primeros números naturales.

\[(n+1)^4=(n+1)+4\cdot \frac{n(n+1)}{2}+6\cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+4\cdot S_3\Rightarrow\]

\[\Rightarrow(n+1)^4=(n+1)+2n(n+1)+n(n+1)(2n+1)+4S_3\Rightarrow\]

\[\Rightarrow4S_3=(n+1)\left[(n+1)^3-1-2n-n(2n+1)\right]=\]

\[=(n+1)(n^3+3n^2+3n+1-1-2n-2n^2-n)\Rightarrow\]

\[\Rightarrow4S_3=(n+1)(n^3+n^2)=(n+1)n^2(n+1)=n^2(n+1)^2\Rightarrow\]

\[\Rightarrow S_3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}\]

Esta es una demostración matemática para obtener una fórmula que permita sumar los cubos de los \(n\) primeros números naturales. Por ejemplo la suma de los cubos de los 12 primeros números naturales es:

\[1^3+2^3+3^3+\ldots+12^3=\frac{12^2\cdot13^2}{4}=\frac{144\cdot169}{4}=6084\]

Si enredamos un “pelín” más observamos que:

\[S_3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}=\frac{n(n+1)}{2}\cdot\frac{n(n+1)}{2}=S_1^2\]

Es decir:

\[1^3+2^3+3^3+4^3\ldots+n^3=\left(1+2+3+4+\ldots+n\right)^2\]

Utilizando el símbolo “sumatorio” (la letra griega sigma mayúscula) queda una fórmula muy elegante:

\[\displaystyle\sum_{x=1}^n x^3=\left(\displaystyle\sum_{x=1}^n x\right)^2\]

Y la fórmula anterior tiene una maravillosa interpretación mediante una imagen que hace poco pude ver en twitter, y que vale más que todas las demostraciones matemáticas que podamos hacer de la fórmula. ¿Puedes verla? Seguro que sí.

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