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La raíz cuadrada siempre es un número mayor o igual que cero.

La raíz cuadrada

Es muy probable que muchos estudiantes de matemáticas de secundaria y bachillerato no tengan muy claro el concepto de raíz cuadrada. Lo digo porque cuando calculamos la “raíz de cuatro” a veces escribimos \(\sqrt{4}=2\) y otras veces escribimos \(\sqrt{4}=\pm2\) ¿Por qué esta confusión? Bueno, el problema radica en saber lo que estamos haciendo en cada momento. No es lo mismo hacer un uso puramente numérico o algebraico de una raíz cuadrada (cuando se procede a simplificar una expresión númerica o algebraica en la que aparecen radicales, por ejemplo), que resolver una ecuación de segundo grado, cuya conocida fórmula contiene la raíz cuadrada.

Para intentar arrojar algo de claridad voy a transcribir, prácticamente igual, la sección donde se habla de todo esto, del libro Cálculo diferencial e integral de Javier Pérez González, profesor del Departamento de Análisis Matemático de la Universidad de Granada, cuya lectura recomiendo efusivamente a los alumnos que vayan a estudiar o estudien un primer curso de matemáticas en cualquier grado universitario.

  • Definición

Para cada número real \(x\geqslant0\), representamos por \(\sqrt{x}\) al único número mayor o igual que cero cuyo cuadrado es igual a \(x\).

  • Una función aparentemente caprichosa

Acabamos de definir la función “raíz cuadrada“. Si tras leer detenidamente la definición te preguntara: ¿cuál es el valor de \(\sqrt{x^2}\)? ¿Qué me responderías? Es muy posible que tu respuesta sea \(x\). ¡Pues no es correcto! Si fuera correcta tu respuesta entonces \(\sqrt{(-2)^2}=-2\) y, según la definición, la raíz cuadrada ha de ser un número mayor o igual que cero, y \(-2\) no lo es. Si se responde a la pregunta de manera meditada, verás que la respuesta correcta es \(|x|\). En efecto, se tiene que \(|x|^2=x^2\) y, además, \(|x|\geqslant0\), por tanto \(\sqrt{x^2}=|x|\).

Muchos estudiantes tienen la idea de que la raíz cuadrada de un número real positivo es una veces positiva y otras veces negativa, y muchos creen que puede tomar los dos valores y, en este caso, deben pensar que \(\sqrt{x^2}=\pm x=\{x,\,-x\}\). Cosas más raras se han visto. Toda esta “magia” lleva a situaciones bastante extrañas. Por ejemplo, es sabido que la distancia entre dos puntos del plano \((a,b)\) y \((c,d)\) viene dada por \(\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}\). En particular, la distancia entre los puntos \((a,b)=(1,2)\) y \((c,d)=(1,3)\) es \(\sqrt{(1-1)^2+(2-3)^2}=\sqrt{(-1)^2}=-1\). ¿Una distancia negativa? No, la raíz cuadrada no es una función caprichosa y su definición no deja lugar a dudas: la raíz cuadrada de un número positivo es también un número positivo, o sea \(\sqrt{(-1)^2}=|-1|=1\) (de ahí la importancia de las definiciones en matemáticas).

¿De dónde procede esta confusión tan extendida? Pues viene de muy atrás, de cuando en el instituto se aprende (¿realmente se aprende?) a resolver la ecuación de segundo grado \(ax^2+bx+c=0\) cuyas soluciones son los números

\[\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

Ahí está el problema: en el confuso símbolo \(\pm\) delante de la raíz. Es eso lo que lleva a muchos a pensar que las raíces cuadradas pueden tomar dos valores: uno positivo, que corresponde a la elección del sigo \(+\), y otro negativo que corresponde a la elección del signo \(-\) en la expresión anterior. Lo más lamentable es que toda esta confusión no es más que producto de la pereza. Veamos: cuando se aprende a resolver la ecuación de segundo grado se obtienen las soluciones

\[\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\quad;\quad\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

Como esto es largo de escribir en la pizarra, los profesores (y me incluyo), por pereza, resumen las dos soluciones obtenidas anteriormente en la expresión única

\[\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

Eso explica cosas bastante incomprensibles como, por ejemplo, escribir \(+\sqrt{3}\) ¿Acaso escribes \(+7\)? No, sabes que \(7\) es un número positivo y parece totalmente improcedente escribir \(+7\). Entonces, ¿por qué escribir \(+\sqrt{3}\)? Porque \(\sqrt{3}\) es caprichoso: unas veces puede ser positivo y otras negativo. A esta forma de pensar se le llama magia matemática, está bastante más extendida de lo que se pueda creer y no solamente entre estudiantes.

En definitiva, creo que ha quedado claro sin lugar a dudas que \(\sqrt{x^2}=|x|\) y que la raíz cuadrada no es una función caprichosa.

Por cierto si usas una calculadora, nunca te devolverá \(-2\) si haces la raíz cuadrada de cuatro. Y, cualquier programa que haga gráficas de funciones, considerará siempre la función \(\sqrt{x}\) como un número positivo (tal y como se dice en la definición). En desmos, la gráfica de \(\sqrt{x}\) es así (y en cualquier otro programa también):

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES "Fernando de Mena" de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

2 comentarios

  1. Excelente artículo y quiero aportar algo más.

    Si estamos resolviendo una ecuación del tipo x² = 9, hay dos respuestas: x = 3 y x = -3. Pero, ¿cómo se hizo para llegar a estas soluciones eliminando el cuadrado? Se aplicó la función raíz cuadrada. A algunos les podría parecer que la raíz está devolviendo dos valores, contradiciendo la definición dada en el artículo, pero en realidad no es así. Veamos el proceso.

    x² = 9
    √(x²) = √9 = 3
    |x| = √9 = 3

    Entonces, x = ±√9 = ±3.

    Una cosa son los valores del dominio (entradas) y otra cosa son las imágenes (la salida que se obtiene al aplicar la función). Por definición de función, a cada elemento del dominio (entrada) le debe corresponder una única imagen (salida), pero puede haber dos elementos del dominio cuyas imágenes coincidan, en cuyo caso la función no es inyectiva.

    En el ejemplo de arriba, no estábamos hallando la salida de √(x²) = |x|. La salida ya la teníamos y era igual a √9, que es 3. Lo que queríamos hallar eran las posibles entradas x cuya salida fuera igual a 3, y dichas entradas podían ser dos: 3 y -3.

    Entonces, si queremos resolver una operación como √[(-4)²], no hay dos posibles respuestas. Aquí lo que queremos es la salida de la operación. La entrada ya la tenemos: es -4 y sabemos que para cada entrada hay una sola salida posible. En este caso, el resultado es |-4| = 4.

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