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Eliminando denominadores de una ecuación

En las matemáticas de 4º de Educación Secundaria Obligatoria se suele proponer la resolución de ecuaciones de primer grado como la siguiente:

\[\frac{3x+7}{24}-\frac{1-4x}{6}=-4-x-\frac{2x-5}{3}\]

Para resolverla hay que eliminar los denominadores. Para ello se reducen todos los términos a común denominador, utilizando el mínimo común múltiplo de los denominadores. Siguen siendo demasiados los alumnos que cometen un error muy común. Veamos:

\[\frac{3x+7}{24}-\frac{4-16x}{24}=\frac{-96}{24}-\frac{24x}{24}-\frac{16x-40}{24}\Rightarrow\]

\[\Rightarrow3x+7-4-16x=-96-24x-16x-40\]

Olvidan que un signo “menos” delante de una fracción cambia de signo todos los términos del numerador. Sumar es restar el opuesto y el opuesto de \(\dfrac{p-q}{n}\) es \(-\dfrac{p-q}{n}=\dfrac{-p+q}{n}\). Por tanto, el primer miembro, una vez eliminado el numerador no es

\[3x+7-4-16x\]

sino

\[3x+7-4+16x\]

Análogamente, el segundo miembro no es

\[-96-24x-16x-40\]

sino

\[-96-24x-16x+40\]

Esto es porque, según lo comentado anteriormente:

\[\frac{3x+7}{24}-\frac{4-16x}{24}=\frac{-96}{24}-\frac{24x}{24}-\frac{16x-40}{24}\Rightarrow\]

\[\Rightarrow\frac{3x+7}{24}+\frac{-4+16x}{24}=\frac{-96}{24}+\frac{-24x}{24}+\frac{-16x+40}{24}\]

Insisto: es un error muy común que cometen más alumnos de lo que se podría desear. Pero, quizás, lo que habría que aprender es que si se multiplican los dos miembros de una igualdad por un mismo número la igualdad no varía. Dicho de otro modo, si multiplicamos los dos miembros (o todos los términos) de una ecuación por un mismo número, la ecuación que resulta es equivalente a la anterior. Así, procediendo de este modo la ecuación inicial se puede resolver multiplicando todos los términos por el mínimo común múltiplo de los denominadores (\(24\) en nuestro caso). Una vez hecho esto aplicamos que \(k\cdot\dfrac{p}{n}=\dfrac{k}{n}\cdot p\) para eliminar denominadores. De este modo quizá se aprecie mejor que hemos de multiplicar cada vez por “todo el numerador” y no se cometa el error anterior:

\[\frac{3x+7}{24}-\frac{1-4x}{6}=-4-x-\frac{2x-5}{3}\Rightarrow\]

\[\Rightarrow24\cdot\frac{3x+7}{24}-24\cdot\frac{1-4x}{6}=24\cdot(-4)-24\cdot x-24\cdot\frac{2x-5}{3}\Rightarrow\]

\[\Rightarrow 1\cdot(3x+7)-4\cdot(1-4x)=-96-24x-8\cdot(2x-5)\Rightarrow\]

\[\Rightarrow 3x+7-4+16x=-96-24x-16x+40\]

Esta forma de proceder, que provoca la presencia de los paréntesis antes de hacer la multiplicación, sería quizá buena para que nuestros alumnos no cometieran el citado error. Por cierto, si se sigue resolviendo la ecuación, la solución es \(x=-1\).

Otra cosa más: el hecho de eliminar denominadores de una ecuación reduciendo todos los denominadores a común denominador y eliminándolos automáticamente después, no sólo provoca el error anterior, sino que los alumnos a veces confunden hacer operaciones con resolver ecuaciones. De tal manera que si se les pide hacer la operación \(\dfrac{3}{x+1}-\dfrac{2x}{x-1}\), a veces hacen lo siguiente:

\[\frac{3}{x+1}-\frac{x}{x-1}=\frac{3(x-1)}{(x+1)(x-1)}-\frac{x(x+1)}{(x+1)(x-1)}=\]

\[=\frac{3x-3}{x^2-1}-\frac{x^2+x}{x^2-1}=3x-3-x^2-x=-x^2+2x-3=0\]

Y luego se afanan en resolver la ecuación de segundo grado. Es necesario distinguir entre realizar una operación algebraica que involucre el uso del denominador común, y la resolución de ecuaciones. Una ecuación tiene dos miembros separados por el símbolo igual. Obsérvese que, al proceder como anteriormente, como los alumnos no ven el símbolo igual, finalmente igualan a cero (quizá piensen que como no está haya que poner cero). Mientras no haya una igualdad, dos miembros, y una incógnita que despejar, lo que tenemos no será una ecuación y no se podrán eliminar denominadores ni alegremente inventarse una ecuación que resolver.

Ya sé que puede ser difícil explicar a los alumnos el mejor método para resolver ecuaciones, o al menos comunicárselo de la mejor forma posible. En todo caso el mejor método es resolver muchas, muchas ecuaciones. Aunque esto pueda ser muy aburrido para los alumnos. Pero es el mejor método, pues ellos mismos se darán cuenta de sus errores y no los volverán a cometer. También sé que esto entra en contradicción con algunas formas de entender el aprendizaje de las matemáticas a estos niveles de la educación secundaria obligatoria. Y es que se dice que en los centros de educación secundaria se abusa de los ejercicios de procedimiento rutinario, cosa muy aburrida para el alumno. Aburrimiento que provoca que éste no consiga motivarse ni, en consecuencia, aprender. Ya, eso está muy bien, pero si un alumno no sabe resolver ecuaciones con cierta soltura, al menos de primer grado, ya me dirán cómo se le puede hacer que entienda alguna aplicación práctica en alguna ciencia experimental donde se resuelven multitud de ecuaciones, incluso que se entusiasme con alguna charla básica de divulgación científica que requiera un mínimo de conocimiento sobre ecuaciones. Yo mismo he introducido muchas veces las ecuaciones de primer y de segundo grado utilizando las leyes del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, o las leyes de Newton, entre otras fórmulas conocidas de la Física. Los alumnos se motivan bien así (además, muchos de ellos están dando Física durante el mismo curso escolar). Y les digo que estas ecuaciones no son difíciles de resolver, pero que, en el futuro, los que sigan el camino científico o tecnológico, se encontrarán en Física, en Química, en Tecnología, etcétera, con ecuaciones un poquito más complicadas. Y no quedará más remedio que haber aprendido a resolver correctamente, y con rapidez, ecuaciones de todo tipo (de primer grado, de segundo grado, bicuadradas, con la incógnita en el denominador, con la incógnita bajo el símbolo de radical, incluso de grado mayor que dos utilizando la factorización de polinomios). Y cuanto antes lo aprendan y manejen las rutinas, mejor. Entristece ver cómo alumnos de ciencias de 2º de Bachillerato asimilan bien el cálculo de derivadas y el procedimiento para calcular extremos relativos y luego cometen los errores comentados en este artículo al resolver las correspondientes ecuaciones.

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES “Fernando de Mena” de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

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