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Tres problemas con triángulos

Uno

\(P\) es un punto interior a un triángulo equilátero. ¿Cuál es la suma \(a+b+c\) de sus distancias a los lados del triángulo?

Dos

Ahora, \(P\) está en el interior del triángulo isósceles de lados 5, 5 y 6 centímetros. Hallar en función de \(b\) (la distancia de \(P\) al lado desigual) la suma de las distancias \(a+b+c\).

Tres

En la figura vemos dos triángulos equiláteros, uno inscrito y otro circunscrito a un círculo. Si el triángulo inscrito tiene área 1, ¿cuál es la suma de las áreas de las figuras sombreadas en color azul?

La solución al número uno aquí.

La solución al número uno aquí.

Llamemos \(l\) al lado del triángulo y \(h\) a su altura. Se sabe que el área \(A\) del triángulo es “base por altura partido por dos”, o sea:

\[A=\frac{l\cdot h}{2}\]

Pero el área \(A\) del triángulo también es la suma de los tres triángulos interiores, coloreados en rojo, azul y verde. Fíjate en la figura.

Es decir:

\[A=\frac{l\cdot h}{2}=\frac{l\cdot a}{2}+\frac{l\cdot b}{2}+\frac{l\cdot c}{2}=\frac{l\cdot a+l\cdot b+l\cdot c}{2}\Rightarrow\]

\[\Rightarrow \frac{l\cdot h}{2}=\frac{l\cdot a+l\cdot b+l\cdot c}{2}\Rightarrow h=a+b+c\]

O sea, que la suma de las distancias de cada lado al punto \(P\), \(a+b+c\), es exactamente igual que la altura del triángulo.

¿Te atreves con el número dos? ¿O con el tres? Este último es muy fácil.

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES "Fernando de Mena" de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

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