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Circunferencia inscrita en un triángulo rectángulo.

Radio del círculo inscrito en un triángulo rectángulo

En un triángulo rectángulo se suponen conocidas las longitudes de sus dos catetos, a y b, y de la hipotenusa, c. Hallar la longitud del radio, r, del círculo inscrito en este mismo triángulo.

La solución aquí

La solución aquí

Para hallar el valor del radio del círculo inscrito en el triángulo vamos a “trocear” tal triángulo del modo que se indica en la figura siguiente:

El área del triángulo ABC es igual a la suma de las áreas de los triángulos AOEAOBBOD, y del cuadrado CDOE. Esto nos lleva a la siguiente igualdad:

\[\frac{ab}{2}=\frac{r(b-r)}{2}+\frac{cr}{2}+\frac{(a-r)r}{2}+r^2\]

Eliminando denominadores y paréntesis se tiene:

\[ab=rb-r^2+cr+ar-r^2+2r^2\Rightarrow ab=r(a+b+c)\]

Igualdad esta última de la que se deduce que el valor del radio es:

\[r=\frac{ab}{a+b+c}\]

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES "Fernando de Mena" de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

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Referencia. Conde, J.M.; Sepulcre, J.M. Problemas elementales de olimpiadas matemáticas. Publicaciones Universidad de Alicante, 2013.

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