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Compraventa y beneficio

En una tienda se compraron unos adornos de porcelana por 629 euros. Se rompieron 3 y los que quedaron se han vendido a 4 euros más de lo que costaron. Si se ha obtenido un beneficio de 85 euros, ¿cuántos adornos se compraron?

La solución aquí

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Llamemos \(x\) al número de adornos que se compraron. Cada uno costó \(\dfrac{629}{x}\) euros. Como se rompieron tres quedaron \(x-3\). Como cada uno de ellos se vendió ahora a \(4\) euros más, el montante total al que asciende la venta es \((x-3)\left(\dfrac{629}{x}+4\right)\), o lo que es lo mismo, número de adornos vendidos por el precio al que ahora se vendió cada uno. Puesto que el beneficio es de \(85\) euros, el montante total debió de ascender a \(629+85=714\) euros. Así pues la ecuación que podemos plantear para resolver el problema es la siguiente:

\[(x-3)\left(\dfrac{629}{x}+4\right)=714\]

Si la resuelves se obtienen dos soluciones: \(x_1=-\dfrac{51}{4}\) y \(x_2=37\). La primera de ellas no nos sirve como solución a nuestro problema pues es negativa. De este modo podemos afirmar que se compraron \(37\) adornos.

Ahora, además, no es difícil hacer la comprobación de que esta solución es la correcta.

Este otro problema no es de compraventa, pero la forma de plantear su resolución es similar al anterior.

Varios amigos han preparado un viaje de vacaciones que cuesta 4000 euros. Un amigo tiene problemas y los demás deciden pagar 200 euros más cada uno para que así puedan ir todos. Calcula el número de amigos que son.

La solución aquí

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Llamemos \(x\) al número de amigos. El viaje le cuesta, a cada uno, \(\dfrac{4000}{x}\). Como un amigo tiene problemas para pagar y deciden pagar 200 euros más cada uno para que así puedan ir todos, tenemos que los \(x-1\) amigos pagan ahora \(\dfrac{4000}{x}+200\). Esta última cantidad debe coincidir con el coste del viaje dividido entre \(x-1\), es decir:

\[\dfrac{4000}{x}+200=\dfrac{4000}{x-1}\]

Resolviendo la ecuación anterior (es una ecuación con la incógnita en el denominador):

\[4000(x-1)+200x(x-1)=4000x\Rightarrow\]

\[\Rightarrow4000x-4000+200x^2-200=4000x\Rightarrow\]

\[200x^2-200x-4000=0\Rightarrow x^2-x-20=0\]

Resolviendo la ecuación de segundo grado se obtiene \(x=5\) o \(x=-4\). Como la segunda solución no es posible, deducimos que son 5 amigos.

Podemos hacer el planteamiento de otra manera. Multiplicando lo que pagan todos los amigos menos uno, por todos los amigos menos uno, se debe obtener el coste total del viaje: 4000 euros. Entonces:

\[\left(\frac{4000}{x}+200\right)(x-1)=4000\]

Eliminando paréntesis:

\[4000-\frac{4000}{x}+200x-200=4000\]

Eliminando denominadores:

\[4000x-4000+200x^2-200x=4000x\Rightarrow\]

\[\Rightarrow200x^2-200x-4000=0\Rightarrow x^2-x-20=0\]

Llegamos a la misma ecuación de segundo grado anterior y, por tanto, a las mismas soluciones.

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES “Fernando de Mena” de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

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