Home » Física » Usos de la trigonometría (I). Movimiento con aceleración constante. Movimiento de proyectiles

Usos de la trigonometría (I). Movimiento con aceleración constante. Movimiento de proyectiles

Un caso especial del movimiento en dos o tres dimensiones se presenta cuando la aceleración es constante tanto en módulo como en dirección y sentido. Un ejemplo de movimiento con aceleración constante es el de un proyectil lanzado cerca de la superficie de la Tierra si puede despreciarse el rozamiento del aire.

Sea \(\vec{a}\) el vector aceleración instantánea, que es constante. Las ecuaciones para los vectores velocidad y posición \(\vec{v}\) y \(\vec{r}\) son generalización de las ecuaciones del movimiento rectilíneo y uniforme (en una dimensión).

\[\vec{v}=\vec{v_0}+\vec{a}t\]

\[\vec{r}=\vec{r_0}+\vec{v_0}t+\frac{1}{2}\vec{a}t^2\]

\[\vec{v_m}=\frac{1}{2}(\vec{v_0}+\vec{v})\]

\(\vec{v_0}\) es la velocidad inicial y \(\vec{r_0}\) es el vector posición inicial. La velocidad media \(\vec{v_m}\) es, naturalmente, la media aritmética entre la velocidad inicial y la velocidad en el instante \(t\).

En la figura anterior se muestra la relación entre el vector desplazamiento \(\vec{r}-\vec{r_0}\), la velocidad inicial \(\vec{v_0}\), y la aceleración \(\vec{a}\). Como se puede apreciar, el desplazamiento en un instante cualquiera \(t\) está contenido en el plano formado por los vectores \(\vec{v_0}\) y \(\vec{a}\). Por tanto, el movimiento es bidimensional. Admitamos pues que la posición inicial de la partícula está contenida en el plano \(xy\). El movimiento tiene lugar entonces en dicho plano. Los componentes \(x\) e \(y\) de las dos primeras ecuaciones anteriores son:

\[v_x=v_{0x}+a_xt\quad\text{;}\quad x=x_0+v_{0x}t+\frac{1}{2}a_xt^2\]

\[v_y=v_{0y}+a_yt\quad\text{;}\quad y=y_0+v_{0y}t+\frac{1}{2}a_yt^2\]

Insistimos en que, cuando la aceleración es constante, el movimiento tiene lugar en un plano y los movimientos \(x\) e \(y\) pueden describirse separadamente mediante ecuaciones idénticas a las correspondientes al movimiento rectilíneo (en una dimensión) con aceleración constante.

Vamos a aplicar ahora estos resultados al movimiento de un proyectil, es decir, a cualquier objeto lanzado al aire y al que se le permite moverse libremente. El estudio del movimiento general de proyectiles es complicado debido a la influencia de la resistencia del aire, la rotación de la Tierra y las variaciones en la aceleración de la gravedad. Para mayor simplicidad, despreciaremos estos factores. De esta forma puede considerarse que el proyectil posee una aceleración constante dirigida verticalmente hacia abajo y cuya magnitud es \(g=9,81 \text{m/s}^2\). Si escogemos el eje \(y\) como el vertical y con su sentido positivo hacia arriba y el eje \(x\) como horizontal en el sentido de la componente horizontal de la velocidad original del proyectil, tenemos para la aceleración:

\[a_y=-g\quad\text{;}\quad a_x=0\]

Como la aceleración horizontal es nula, la componente horizontal de la velocidad es constante. Por otro lado, el movimineto vertical es un movimiento simple con aceleración constante. Eligiendo como origen la posición inicial del proyectil, las componentes de la velocidad y la posición vienen dadas por:

\[v_x=v_{0x}\quad\text{;}\quad v_y=v_{0y}-gt\]

\[x=v_{0x}t\quad\text{;}\quad y=v_{0y}t-\frac{1}{2}gt^2\]

Como se indica en la figura anterior, si el vector velocidad inicial \(v_0\) forma un ángulo \(\theta_0\) con el eje horizontal, las componentes de la velocidad son (y aquí viene el uso de la trigonometría):

\[\text{cos}\,\theta_0=\frac{v_{0x}}{v_0}\Rightarrow v_{0x}=v_0\cdot\text{cos}\,\theta_0\quad\text{;}\quad\text{sen}\,\theta_0=\frac{v_{0y}}{v_0}\Rightarrow v_{0y}=v_0\cdot\text{sen}\,\theta_0\]

  • Ejemplo

Se lanza una pelota al aire con velocidad inicial de \(50\ \text{m/s}\) formando un ángulo de \(37^{\text{o}}\) con la horizontal. Utilizando la aproximación \(g=10\ \text{m/s}^2\), hallar el tiempo total que la pelota está en el aire y la distancia horizontal recorrida.

Las componentes del vector velocidad inicial son:

\[v_{0x}=50\cdot\text{cos}\,37^{\text{o}}\approx40\ \text{m/s}\]

\[v_{0y}=50\cdot\text{sen}\,37^{\text{o}}\approx30\ \text{m/s}\]

Como durante cada segundo el proyectil se desplaza \(40\) metros horizontalmente, podemos representar este esquema de modo que aparezca \(y\) en función de \(x\) cambiando la escala, pasando de una escala de tiempo a otra escala de distancia multiplicando los valores de tiempo por \(40\ \text{m/s}\).

 

La curva \(y\) en función de \(x\) es una parábola. El tiempo total que el proyectil está en el aire es el doble del tiempo que tarda en alcanzar su punto más alto. Este tiempo se obtiene a partir de \(v_y=v_{0y}-gt=30-10t\), y de esta ecuación puede despejarse \(t\) para el instante en que \(v_y\) es cero (cuando la pelota está en el punto más alto): \(0=30-10t\Rightarrow t=3\ \text{s}\). Por tanto, el tiempo total que el proyectil permanece en el aire es de \(6\ \text{s}\). Como se desplaza horizontalmente con velocidad constante de \(40\ \text{m/s}\), la distancia total recorrida es \(40\cdot6=240\ \text{m}\). Esta distancia se denomina alcance de un proyectil.

Podemos aplicar estos métodos para hallar el alcance \(R\) en el caso de una velocidad inicial \(v_0\) y un ángulo inicial \(\theta_0\) generales. El tiempo que se tarda en alcanzar el punto más elevado se halla haciendo \(v_y=0\). Sustituyendo en la ecuación \(v_y=v_{0y}-gt\):

\[0=v_{0y}-gt\Rightarrow gt=v_{0y}\Rightarrow t=\frac{v_{0y}}{g}\]

El alcance es, por tanto, la distancia horizontal recorrida en el doble de este tiempo. Sustituyendo en \(x=v_{0x}t\):

\[R=v_{0x}\frac{2v_{0y}}{g}=\frac{2v_{0x}v_{0y}}{g}\]

En función de la velocidad inicial \(v_0\) y del ángulo \(\theta_0\), el alcance es:

\[R=\frac{2(v_0\cdot\text{cos}\,\theta_0)(v_0\cdot\text{sen}\,\theta_0)}{g}=\frac{v_0^2}{g}(2\text{sen}\,\theta_0\text{cos}\,\theta_0)\]

Utilizando la fórmula del seno del ángulo doble \(2\text{sen}\,\theta_0\text{cos}\,\theta_0=\text{sen}\,2\theta_0\), tenemos finalmente que

\[R=\frac{v_0^2}{g}\text{sen}\,2\theta_0\]

En el caso del ejemplo anterior:

\[R=\frac{v_0^2}{g}\text{sen}\,2\theta_0=\frac{50^2}{10}\text{sen}\,(2\cdot37^{\text{o}})=250\cdot\text{sen}\,74^{\text{o}}=250\cdot0,96\approx240\ \text{m.}\]

El alcance máximo se obtiene cuando \(\text{sen}\,2\theta_0=1\), es decir, cuando \(2\theta=90^{\text{o}}\Rightarrow\theta=45^{\text{o}}\). Esto es tanto como decir que se obtiene un alcance máximo cuando ambas componentes de la velocidad, \(v_{0x}\) y \(v_{0y}\), son iguales.

La ecuación general para la trayectoria \(y(x)\) puede obtenerse a partir de las ecuaciones \(x=v_{0x}t\), \(y=v_{0y}t-\frac{1}{2}gt^2\), eliminando la variable \(t\) entre ambas. De la primera de ellas se tiene que \(t=\dfrac{x}{v_{0x}}\) y sustituyendo en la segunda:

\[y=v_{0y}\frac{x}{v_{0x}}-\frac{1}{2}g\left(\frac{x}{v_{0x}}\right)^2\Rightarrow y=\frac{v_{0y}}{v_{0x}}x-\frac{g}{2v_{0x}^2}x^2\]

En el caso del ejemplo anterior, la ecuación general de la trayectoria es:

\[y=\frac{30}{40}x-\frac{10}{2\cdot40^2}x^2=-\frac{10}{3200}x^2+\frac{30}{40}x=-\frac{1}{320}x^2+\frac{3}{4}x\]

Observa que la ecuación anterior es la de una parábola que se abre hacia abajo (justamente la representada más arriba) cuya coordenada \(x\) del vértice es:

\[x=\frac{-\frac{3}{4}}{2\left(-\frac{1}{320}\right)}=\frac{960}{8}=120\]

Lo que indica que, a mitad de recorrido, la pelota ha recorrido ya, horizontalmente, \(120\ \text{m}\). Por tanto recorrerá en total \(240\ \text{m}\). Se obtiene así otra forma de calcular el alcance máximo de la pelota.

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES “Fernando de Mena” de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

Comentar

Su dirección de correo electrónico no será publicada.Los campos necesarios están marcados *

*

x

Check Also

Operaciones con raíces. Radicales (2)

Instrucciones: Para practicar con estos ejercicios te recomiendo que los copies en tu cuaderno o ...

¿Por qué un número no nulo elevado a cero es igual a uno?

El conjunto de los números reales, con las operaciones suma y producto tiene estructura de ...

Un número perfecto. 28 ideas asombrosas de la Historia de las Matemáticas

“Un número perfecto. 28 ideas asombrosas de la Historia de las Matemáticas”. Este es el ...

Maxima, un sistema de álgebra computacional

Maxima es un sistema para la manipulación de expresiones simbólicas y numéricas, incluyendo diferenciación, integración, ...

A %d blogueros les gusta esto: