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Usos de la trigonometría. Cálculo de alturas y distancias (VI)

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Altura de un punto de pie inaccesible desde un terreno horizontal con obstáculos

Deseamos calcular la altura \(\overline{AB}=x\) de un punto de pie inaccesible desde un terreno horizontal con obstáculos, tal y como se muestra en la figura (piénsese que la figura está dibujada en perspectiva).

Tomemos una base auxiliar \(\overline{CD}=d\). Desde \(C\) medimos el ángulo de elevación de \(A\), que llamaremos \(\alpha\), el ángulo \(\widehat{ACD}\), al que llamaremos \(\beta\) y, finalmente, desde \(D\) mediremos también el ángulo \(\widehat{ADC}\), al que llamaremos \(\gamma\).

El método a seguir consiste en calcular \(\overline{AC}\) en el triángulo \(ACD\) y luego calcular \(x\) en el triángulo rectángulo \(ABC\). Aplicando el teorema de los senos en el triángulo \(ACD\):

\[\frac{\overline{AC}}{\text{sen}\,\gamma}=\frac{d}{\text{sen}\,\widehat{CAD}}\Rightarrow\overline{AC}=\frac{d\cdot\text{sen}\,\gamma}{\text{sen}\,(180^{\text{o}}-\gamma-\beta)}\]

Finalmente, en el triángulo rectángulo \(ABC\) se tiene:

\[\text{sen}\,\alpha=\frac{x}{\overline{AC}}\Rightarrow x=\overline{AC}\cdot\text{sen}\,\alpha\]

  • Ejemplo

Desde un barco fondeado frente a la costa se desea calcular la altura \(\overline{AB}\) de una torre. Para ello, desde la proa \(C\), a 4 metros sobre el nivel del mar, se mide el ángulo de elevación de \(A\): \(7^{\text{o}}\), y \(\widehat{ACD}=85^{\text{o}}\). Asimismo, desde la popa \(D\), también a 4 metros sobre el nivel del mar, se mide el ángulo \(\widehat{ACD}=87^{\text{o}}\) (ver figura). Si la distancia entre la proa y la popa es \(\overline{CD}=60\) metros, calcular la altura de la torre.

Solución

Llamemos \(B\,’\) al punto de la torre situado al nivel de la cubierta del barco (4 metros sobre el nivel del mar) y que se toma como referencia para medir el ángulo de elevación de \(A\): \(\alpha=7^{\text{o}}\). Llamaremos \(x=\overline{AB\,’}\), con lo que la altura de la torre será \(\overline{AB}=4+x\). Según el enunciado tenemos que \(\beta=85^{\text{o}}\), \(\gamma=87^{\text{o}}\) y \(d=60\) metros.

Tenemos pues, aplicando la fórmula vista anteriormente en el triángulo \(ACD\), que:

\[\overline{AC}=\frac{d\cdot\text{sen}\,180^{\circ}-\gamma-\beta)}{\text{sen}\,\gamma}=\frac{60\cdot\text{sen}\,87^{\text{o}}}{\text{sen}\,8^{\text{o}}}\approxeq430,53\]

Por tanto:

\[x=\overline{AC}\cdot\text{sen}\,\alpha=\overline{AC}\cdot\text{sen}\,7^{\text{o}}\approxeq52,47\]

Es decir, la altura de la torre es, aproximadamente, \(\overline{AB}=4+x\approxeq56,47\) metros.

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES "Fernando de Mena" de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

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