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Dos triángulos semejantes en posición de Tales.

El Teorema de Tales

Enunciado del Teorema de Tales

El teorema de Tales dice que si dos rectas cualesquiera se cortan por una serie de rectas paralelas, los lados o segmentos homólogos son proporcionales.

\[\frac{\overline{AB}}{\overline{DE}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{EF}}=\frac{\overline{AC}}{\overline{DF}}=\frac{\overline{AD}}{\overline{BE}}\]

Triángulos semejantes y triángulos en posición de Tales

Dos triángulos son semejantes si tienen sus ángulos iguales y sus lados son proporcionales.

El teorema de Tales también se puede enunciar así: si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtiene un triángulo que es semejante al triángulo dado.

En la siguiente figura tenemos un triángulo \(ABC\) y hemos trazado una paralela al lado \(BC\) formando el triángulo \(ADE\).

Entonces los triángulos \(ABC\) y \(ADE\) son semejantes y se cumple que

\[\frac{\overline{AB}}{\overline{AC}}=\frac{\overline{AD}}{\overline{AE}}=\frac{\overline{DB}}{\overline{EC}}=\frac{\overline{DE}}{\overline{BC}}\]

En realidad este es el enunciado original del teorema de Tales (o primer teorema de Tales) y en este caso se dice que los dos triángulos están en posición de Tales.

Ejercicio resuelto

Los siguientes triángulos están en posición de Tales. Calcula las longitudes \(x\) e \(y\).

Solución

Como los triángulos están en posición de Tales tenemos que:

\[\frac{8}{10}=\frac{3}{x}\]

Despejando \(x\):

\[8x=3\cdot10\Rightarrow8x=30\Rightarrow x=\frac{30}{8}\Rightarrow x=3,75\,\text{cm}\]

Observemos que también podríamos haber obtenido la longitud \(x\) así:

\[\frac{8}{10}=\frac{8+3}{10+x}\Rightarrow\frac{8}{10}=\frac{11}{10+x}\]

Nuevamente, despejando \(x\):

\[8(10+x)=11\cdot10\Rightarrow80+8x=110\Rightarrow8x=30\Rightarrow x=\frac{30}{8}\Rightarrow x=3,75\,\text{cm}\]

Procediendo de manera similar calcularemos la longitud de \(y\):

\[\frac{8}{10}=\frac{5}{y}\Rightarrow8y=50\Rightarrow y=\frac{50}{8}\Rightarrow y=6,25\,\text{cm}\]

También podríamos haber obtenido \(y\) así:

\[\frac{3}{3,75}=\frac{5}{y}\Rightarrow3y=18,75\Rightarrow y=\frac{18,75}{3}\Rightarrow y=6,25\,\text{cm}\]

O así:

\[\frac{11}{13,75}=\frac{5}{y}\Rightarrow11y=68,75\Rightarrow y=\frac{68,75}{11}\Rightarrow y=6,25\,\text{cm}\]

Más sobre semejanza y el teorema de Tales

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