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Un par de problemas de edades

Problema 1

¿Qué edad tenía una persona en el año 2000 sabiendo que esa edad era igual a la suma de las cuatro cifras de su año de nacimiento?

Problema 2

En una lápida podía leerse la siguiente inscripción:

«Aquí yace Pío Niro, muerto en 1971. Vivió tantos años como la suma de las cifras de su año de nacimiento.»

¿A qué edad murió?

La solución de los problemas aquí.

La solución de los problemas aquí.

Solución al problema 2.

Para empezar observamos que Pío Niro no pudo nacer en los años treinta, es decir, no pudo nacer en un año de la forma \(193x\). La suma de las cifras de un año de este tipo es, a lo sumo, \(22\), que es la que corresponde al año \(1939\). Si a \(1939\) le sumamos \(22\) tenemos \(1961\) que no es \(1971\). Algo similar ocurre si a cualquier año de la forma \(193x\) le sumamos la suma de sus cifras: nunca alcanzará a ser \(1971\). Similar razonamiento se puede seguir si el año de nacimiento fuera de la forma \(192x\), \(191x\), \(190x\), \(189x\), etcétera.

Razonemos ahora con una fecha de la forma \(194x\). Si Pío Niro hubiera nacido en \(1948\), cuya cifras suman \(22\), su muerte se tendría que haber producido, según reza en su lápida, en \(1948+22=1970\), que no coincide con \(1971\): se queda un año corto. Si hubiera nacido en \(1949\), cuyas cifras suman \(23\). su muerte se tendría que haber producido en el año \(1949+23=1972\), que sobrepasa en un año a \(1971\).

De todo lo anterior se deduce que es muy probable que el año de nacimiento de Pío Niro sea de la forma \(195x\). Vamos a plantear una ecuación según lo que dice en su lápida.

El año \(195x\) lo podemos escribir así: \(1000+900+50+x=1950+x\). La suma de sus cifras es \(1+9+5+x=15+x\). Si sumamos ambas cosas debe de dar \(1971\):

\[1950+x+15+x=1971\Rightarrow 2x=1971-1950-15\Rightarrow2x=6\Rightarrow x=3\]

Así, el año de nacimiento de Pío Niro fue \(1953\). La suma de sus cifras es \(18\) y \(1953+18=1971\). Obsérvese que vivió tantos años como la suma de las cifras de su año de nacimiento: \(18\).

Procediendo de manera similar a como se ha hecho para el problema 2, se puede obtener la solución del problema 1: la edad de la persona en el año \(2000\) era \(19\) años y nació en \(1981\).

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