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El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base.

Logaritmos. Contexto histórico y aplicaciones (III)

Esta es la continuación de la entrada “Logaritmos. Contexto histórico y aplicaciones (II)

Podríamos redescubrir las propiedades del logaritmo a partir del análisis de la tabla utilizada anteriormente (véase artículo anterior). ¿De qué manera? Recordemos que “el logaritmo de un número es el exponente al cual se debe elevar la base del logaritmo para obtener dicho número (llamado argumento)”.

Retomando la primera de las multiplicaciones del artículo anterior tenemos:

\[16\cdot512=2^4\cdot2^9=2^{13}=8192\]

Según lo anterior, 4 es el exponente al que hay que elevar 2 para obtener 16. En otras palabras, 4 es el logaritmo en base 2 de 16, lo que simbólicamente escribimos \(\text{log}_2 16=4\). Del mismo modo \(\text{log}_2 512=9\) y \(\text{log}_2 8192=13\).

Observemos que \(4+9=13\), que podría escribirse así:

\[\text{log}_2 16+\text{log}_2 512=\text{log}_2 8192=\text{log}_2(16\cdot512)\]

Del mismo modo, mirando las columnas de la tabla del artículo anterior:

\[\text{log}_3 81+\text{log}_3 19683=\text{log}_3 1594323=\text{log}_3(81\cdot19683)\]

\[\text{log}_4 256+\text{log}_4 262144=\text{log}_4 67108864=\text{log}_4(256\cdot262144)\]

\[\text{log}_5 625+\text{log}_5 1953125=\text{log}_5 1220703125=\text{log}_5(625\cdot1953125)\]

Podríamos continuar con cálculos similares, y luego de un número significativo de ejemplos, convencernos como para “generalizar” este resultado diciendo que el logaritmo de un producto, en una base dada, es la suma de los logaritmos (en la misma base) de cada uno de los factores. En lenguaje simbólico escribiríamos:

\[\text{log}_b(x\cdot y)=\text{log}_b x+\text{log}_b y\]

Algo similar ocurre con el logartimo de un cociente. Recordemos que en un ejemplo anterior, dividimos:

\[\frac{67108864}{263144}=\frac{4^{13}}{4^9}=4^4=256\]

Llevando a cabo un análisis análogo al realizado para el producto, y teniendo en cuenta la definición de logaritmo, tendremos que:

\[13-4=9\Rightarrow\text{log}_4 67108864-\text{log}_4 262144=\text{log}_4 256=\text{log}_4\left(\frac{67108864}{262144}\right)\]

O también en la división:

\[\frac{1220703125}{1953125}=\frac{5^{13}}{5^9}=5^4=625\]

Notamos que:

\[13-4=9\Rightarrow\text{log}_5 1220703125-\text{log}_5 1953125=\text{log}_5 625=\text{log}_5\left(\frac{1220703125}{1953125}\right)\]

De manera análoga al análisis que se ha realizado con el producto, y con un buen número de ejemplos demostrativos, podríamos concluir y generalizar que el logaritmo de un cociente, en una base dada, es la diferencia entre los logaritmos del dividendo y del divisor, en la misma base. En lenguaje simbólico escribiríamos:

\[\text{log}_b\left(\frac{x}{y}\right)=\text{log}_b x-\text{log}_b y\]

Finalmente, podríamos deducir la propiedad del logaritmo respecto de la potencia, si analizamos también uno de los ejemplos citados. Vimos que:

\[4^7=\left(2^2\right)^7=2^{14}=16384\]

Es decir, que:

\[\text{log}_4 16384=\text{log}_4 4^7=7\]

Además, si escribimos \(4^7\) de la manera \(4^7=4\cdot4\cdot4\cdot4\cdot4\cdot4\cdot4\), por la propiedad anteriormente mencionada, referida al logaritmo de un producto, y generalizándola para varios factores, tenemos:

\[\text{log}_4 4^7=\text{log}_4(4\cdot4\cdot4\cdot4\cdot4\cdot4\cdot4)=\]

\[=\text{log}_4 4+\text{log}_4 4+\text{log}_4 4+\text{log}_4 4+\text{log}_4 4+\text{log}_4 4+\text{log}_4 4=7\cdot\text{log}_4 4=7\cdot1=7\]

En consecuencia, según este criterio, también podemos escribir:

\[\text{log}_2 4^7=\text{log}_2(4\cdot4\cdot4\cdot4\cdot4\cdot4\cdot4)=\]

\[=\text{log}_2 4+\text{log}_2 4+\text{log}_2 4+\text{log}_2 4+\text{log}_2 4+\text{log}_2 4+\text{log}_2 4=7\cdot\text{log}_2 4=7\cdot2=14\]

Resultado que ya conocíamos pues habíamos visto anteriormente que \(4^7=2^{14}\), y por esta razón, también podríamos escribir:

\[\text{log}_2 4^7=\text{log}_2 2^{14}=14\cdot\text{log}_2 2=14\cdot1=14\]

De manera similar, puede analizarse a partir de la tabla ya mencionada varias veces, y que aparece en el artículo anterior, que:

\[\text{log}_3 81=\text{log}_3 3^4=4\cdot\text{log}_3 3=4\cdot1=4\]

Efectivamente, 4 es el exponente al que hay que elevar el número 3 para obtener 81, es decir, 4 es el logaritmo de 81 en base 3.

Podríamos buscar más resultados similares ayudándonos de la tabla. Por ejemplo:

\[\text{log}_5 390625=\text{log}_5 5^8=8\cdot\text{log}_5 5=8\cdot1=8\]

De los razonamientos anteirores deducimos dos propiedades, a saber:

  • El logaritmo de un número positivo, en la misma base, es igual a 1. Simbólicamente:

\[\text{log}_b b=1\]

  • El logaritmo de una potencia, en una base determinada, es igual al producto del exponente por el logartimo de la base. En lenguaje simbólico:

\[\text{log}_b a^n=n\cdot\text{log}_b a\]

Estos artículos pretenden hablar del contexto histórico y de las aplicaciones de los logaritmos, por eso no buscaremos más propiedades de los mismos, no sea que nos desviemos del objetivo principal.

Fuente:
Los logaritmos, un abordaje desde la Historia de la Matemática y las aplicaciones actuales.

Raquel Susana Abrate. Marcel David Pochulu

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES “Fernando de Mena” de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

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