Últimas noticias
Home » Álgebra » ecuaciones, ecuaciones, ecuaciones
Una ecuación racional.

ecuaciones, ecuaciones, ecuaciones

En matemáticas, saber resolver ecuaciones es fundamental. En las matemáticas de bachillerato una de las cosas que hacemos a principio de curso es repasar todos los tipos de ecuaciones que hemos aprendido durante la educación secundaria obligatoria. Incluso se aprenden algunos más, como las ecuaciones exponenciales, las ecuaciones logarítmicas y las ecuaciones trigonométricas.

Aquí puedes descargar unos apuntes teóricos en forma de esquema (son 10 páginas) en los que no sólo se repasan todos los tipos de ecuaciones, sino también los sistemas de ecuaciones, las inecuaciones y los sistemas de inecuaciones. Se describe brevemente el procedimiento a seguir para resolver cada tipo de ecuación, de inecuación o de sistema. Además, se muestra dicho procedimiento mediante la resolución de un ejemplo determinado.

A continuación os dejo una muestra de algunas ecuaciones tipo, con su correspondiente solución. Al principio, habrá que eliminar paréntesis, denominadores, incluso hacer algún cambio de variable, hasta llegar a la forma reducida de la ecuación. En ese momento se aplica el procedimiento dependiendo del tipo de ecuación a la que se haya llegado. En todas las ecuaciones se ha escogido como incógnita la letra \(x\), aunque, como ya sabéis, se puede utilizar cualquier otra letra del alfabeto para designar la incógnita de la ecuación.

Una ecuación de segundo grado

\[\frac{2x^2-5}{3}-\frac{1}{3}\cdot\frac{3x-2}{2}=x+\frac{7x}{6}\]

La solución aquí

La solución aquí

La ecuación es equivalente a:

\[\frac{2x^2-5}{3}-\frac{3x-2}{6}=x+\frac{7x}{6}\]

Multiplicando todos los términos por \(6\) tenemos:

\[2\left(2x^2-5\right)-(3x-2)=6x+7x\]

Operando y trasponiendo términos:

\[4x^2-10-3x+2=13x\Rightarrow4x^2-16x-8=0\]

Didividendo todos los términos de esta última ecuación entre \(2\) nos queda una sencilla ecuación de segundo grado:

\[2x^2-8x-4=0\]

Utilizando la conocida fórmula para resolver la ecuación de segundo grado, \(x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\), obtenemos las soluciones:

\[x=\frac{8\pm\sqrt{(-8)^2-4\cdot2\cdot(-4)}}{2\cdot2}=\frac{8\pm\sqrt{64+32}}{4}=\frac{8\pm\sqrt{96}}{4}=\]

\[=\frac{8\pm4\sqrt{6}}{4}=2\pm\sqrt{6}\Rightarrow\begin{cases}x_1=2+\sqrt{6}\\x_2=2-\sqrt{6}\end{cases}\]

Una ecuación bicuadrada

\[\frac{3x^4-1}{4}+\frac{1}{2}\left(x^4-2-\frac{1}{2}x^2\right)=\frac{x^2-3}{4}\]

La solución aquí

La solución aquí

Eliminando el paréntesis nos queda las siguiente ecuación equivalente:

\[\frac{3x^4-1}{4}+\frac{x^4}{2}-1-\frac{x^2}{4}=\frac{x^2-3}{4}\]

Multiplicando todos los términos por \(4\) tenemos:

\[3x^4-1+2x^4-4-x^2=x^2-3\Rightarrow 5x^4-2x^2-2=0\]

Haciendo el cambio de variable \(x^2=t\), resulta la ecuación de segundo grado \(5t^2-2t-2=0\), cuyas soluciones son:

\[t=\frac{2\pm\sqrt{4-4\cdot5\cdot(-2)}}{10}=\frac{2\pm\sqrt{44}}{10}=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{10}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{5}\Rightarrow\]

\[\Rightarrow\begin{cases}t_1=\frac{1+\sqrt{11}}{5}\\t_2=\frac{1-\sqrt{11}}{5}\end{cases}\]

Ahora tenemos que deshacer el cambio \(x^2=t\) para obtener las soluciones de \(x\). Obsérvese que la solución \(t_2\) es negativa con lo que no proporcionará soluciones para \(x\). Obtengamos pues las soluciones para \(x\) procedentes de \(t_1\):

\[x^2=t\Rightarrow x=\sqrt{t}\Rightarrow x=\pm\sqrt{\frac{1+\sqrt{11}}{5}}\]

La expresión \(\sqrt{\dfrac{1+\sqrt{11}}{5}}\) queda más “maja” si la racionalizamos:

\[\sqrt{\frac{1+\sqrt{11}}{5}}=\frac{\sqrt{1+\sqrt{11}}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{1+\sqrt{11}}\sqrt{5}}{\sqrt{5}\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5+5\sqrt{11}}}{5}\]

Así pues, tenemos dos soluciones para la ecuación original:

\[\begin{cases}\displaystyle x_1=\frac{\sqrt{5+5\sqrt{11}}}{5}\\\displaystyle x_2=-\frac{\sqrt{5+5\sqrt{11}}}{5}\end{cases}\]

Una ecuación con la incógnita en el denominador

\[\frac{x+1}{x^2}-\frac{x}{x+1}-\frac{1}{x^3+x^2}=0\]

La solución aquí

La solución aquí

El denominador de la última fracción factoriza así: \(x^3+x^2=x^2(x+1)\). Por tanto el mínimo común múltiplo de los denominadores es, precisamente, \(x^2(x+1)\). Multiplicando por éste todos los términos de la ecuación tenemos la ecuación equivalente:

\[(x+1)^2-x^3-1=0\]

Eliminado paréntesis y despejando la incógnita:

\[x^2+2x+1-x^3-1=0\Rightarrow -x^3+x^2+2x=0\Rightarrow\]

\[\Rightarrow-x(x^2-x-2)=0\Rightarrow\begin{cases}-x=0\Rightarrow x=0\\x^2-x-2=0\end{cases}\]

La solución \(x=0\) hay que descartarla puesto que anula uno de los denominadores de la ecuación inicial. Resolvamos pues la ecuación \(x^2-x-2=0\):

\[x=\frac{1\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot1\cdot(-2)}}{2\cdot1}=\frac{1\pm\sqrt{9}}{2}=\frac{1\pm3}{2}=\begin{cases}x=2\\x=-1\end{cases}\]

De estas dos soluciones, la posibilidad \(x=-1\) también hay que descartarla pues también anula uno de los denominadores de la ecuación inicial.

Por tanto la única solución de la ecuación dada es \(x=2\).

Una ecuación en la que la incógnita aparece en el interior de un radical, también llamada ecuación irracional

\[\sqrt{2x-1}+\sqrt{2x+1}=\frac{1}{\sqrt{2x-1}}\]

La solución aquí

La solución aquí

Resolveremos esta ecuación por dos métodos diferentes.

Primer método

Como tenemos un radical aislado en el segundo miembro, elevamos los dos miembros al cuadrado:

\[\left(\sqrt{2x-1}+\sqrt{2x+1}\right)^2=\left(\frac{1}{\sqrt{2x-1}}\right)^2\Rightarrow\]

\[\Rightarrow2x-1+2\sqrt{2x-1}\sqrt{2x+1}+2x+1=\frac{1}{2x-1}\Rightarrow\]

\[\Rightarrow 4x+2\sqrt{4x^2-1}=\frac{1}{2x-1}\Rightarrow2\sqrt{4x^2-1}=\frac{1}{2x-1}-4x\]

Elevando de nuevo los dos miembros de esta última ecuación al cuadrado tenemos:

\[4(4x^2-1)=\frac{1}{(2x-1)^2}+16x^2-\frac{8x}{2x-1}\]

Multiplicando todos los términos por \((2x-1)^2\) tenemos:

\[4(4x^2-1)(2x-1)^2=1+16x^2(2x-1)^2-8x(2x-1)\Rightarrow\]

\[\Rightarrow(16x^2-4)(2x-1)^2=1+16x^2(2x-1)^2-8x(2x-1)\Rightarrow\]

\[\Rightarrow16x^2(2x-1)^2-4(2x-1)^2=1+16x^2(2x-1)^2-8x(2x-1)\]

Obsérvese que, en esta última ecuación, el término \(16x^2(2x-1)^2\) aparece en los dos miembros de la igualdad, con lo que la ecuación anterior queda así:

\[-4(2x-1)^2=1-8x(2x-1)\]

Esta es una ecuación muy fácil de resolver:

\[-4(4x^2-4x+1)=1-16x^2+8x\Rightarrow-16x^2+16x-4=1-16x^2+8x\Rightarrow\]

\[\Rightarrow8x=5\Rightarrow x=\frac{5}{8}\]

Segundo método

Multiplicamos todos los términos de la ecuación por \(\sqrt{2x-1}\):

\[2x-1+\sqrt{4x^2-1}=1\Rightarrow\sqrt{4x^2-1}=2-2x\]

Ahora elevamos al cuadrado los dos miembros de la igualdad:

\[4x^2-1=4-8x+4x^2\Rightarrow8x=5\Rightarrow x=\frac{5}{8}\]

Está claro que este segundo método es mucho más corto que el primero. En la resolución de ecuaciones también hay que saber elegir el método más rápido.

Una ecuación exponencial

\[8^{1+x}+2^{3x-1}=\frac{17}{16}\]

La solución aquí

La solución aquí

En este caso aislaremos la incógnita en una sola potencia de base \(2\).

\[(2^3)^{1+x}+2^{3x-1}=\frac{17}{16}\Rightarrow2^{3+3x}+2^{3x-1}=\frac{17}{16}\Rightarrow 2^3\cdot2^{3x}+2^{3x}+2^{-1}=\frac{16}{16}\Rightarrow\]

\[\Rightarrow\left(2^3+2^{-1}\right)\cdot2^{3x}=\frac{17}{16}\Rightarrow\left(8+\frac{1}{2}\right)\cdot2^{3x}=\frac{17}{16}\Rightarrow\]

\[\Rightarrow\frac{17}{2}\cdot2^{3x}=\frac{17}{16}\Rightarrow 8\cdot2^{3x}=1\Rightarrow 2^3\cdot2^{3x}=2^0\]

\[\Rightarrow2^{3+3x}=2^0\Rightarrow3+3x=0\Rightarrow 3x=-3\Rightarrow x=-1\]

Una ecuación logarítmica

\[\text{log}\sqrt{3x+5}+\text{log}\sqrt{x}=1\]

La solución aquí

La solución aquí

Resolveremos esta ecuación por dos métodos similares. En ellos usaremos las propiedades de los logaritmos.

Primer método

\[\text{log}\sqrt{3x+5}+\text{log}\sqrt{x}=1\Rightarrow\text{log}\left(\sqrt{3x+5}\cdot\sqrt{x}\right)=1\Rightarrow\]

\[\Rightarrow\text{log}\sqrt{3x^2+5x}=\text{log}10\Rightarrow\sqrt{3x^2+5x}=10\Rightarrow\]

\[\Rightarrow3x^2+5x=100\Rightarrow3x^2+5x-100=0\]

Resolviendo esta última ecuación de segundo grado:

\[x=\frac{-5\pm\sqrt{25-4\cdot3\cdot(-100)}}{2\cdot3}=\frac{-5\pm\sqrt{1225}}{6}=\frac{-5\pm35}{6}\Rightarrow\]

\[\Rightarrow x=\begin{cases}x=5\\\displaystyle x=-\frac{40}{6}=-\frac{20}{3}\end{cases}\]

La solución \(x=-\dfrac{20}{3}\) hay que descartarla pues, al sustituir en la ecuación original, ni \(\text{log}\sqrt{3x+5}\), ni \(\text{log}\sqrt{x}\) tienen sentido para \(x=-\dfrac{20}{3}\).

Por tanto la solución de la ecuación es \(x=5\).

Segundo método

\[\text{log}\sqrt{3x+5}+\text{log}\sqrt{x}=1\Rightarrow\text{log}(3x+5)^{\frac{1}{2}}+\text{log}x^{\frac{1}{2}}=1\Rightarrow\]

\[\Rightarrow\frac{1}{2}\text{log}(3x+5)+\frac{1}{2}\text{log}x=1\Rightarrow\frac{1}{2}\left(\text{log}(3x+5)+\text{log}x\right)=1\Rightarrow\]

\[\Rightarrow\text{log}(3x^2+5x)=2\Rightarrow\text{log}(3x^2+5x)=log100\]

De esta última igualdad se obtiene que \(3x^2+5x-100=0\), que es la misma ecuación que aparece en el primer método y la finalización es igual que antes.

Comprobemos que la solución \(x=5\) efectivamente lo es.

\[\text{log}\sqrt{3\cdot5+5}+\text{log}\sqrt{5}=\text{log}\sqrt{20}+\text{log}\sqrt{5}=\]

\[=\text{log}\left(\sqrt{20}\cdot\sqrt{5}\right)=\text{log}\sqrt{100}=\text{log}10=1\]

Una ecuación trigonométrica

\[\cos4x+\cos2x=\cos x\]

La solución aquí

La solución aquí

Para resolver esta ecuación trigonométrica utilizaremos las siguientes identidades trigonométricas:

\[\cos(a+b)=\cos a\cdot\cos b-\text{sen}\ a\cdot\text{sen}\ b\]

\[\cos(a-b)=\cos a\cdot\cos b+\text{sen}\ a\cdot\text{sen}\ b\]

Por un lado:

\[\cos4x=\cos(3x+x)=\cos 3x\cdot\cos x-\text{sen}\ 3x\cdot\text{sen}\ x\]

Y por otro:

\[\cos2x=\cos(3x-x)=\cos 3x\cdot\cos x+\text{sen}\ 3x\cdot\text{sen}\ x\]

Sumando las dos igualdades anteriores tenemos:

\[\cos4x+\cos2x=2\cdot\cos3x\cdot\cos x\]

Por tanto, la ecuación original es equivalente a esta otra:

\[2\cdot\cos3x\cdot\cos x=\cos x\]

Ahora, pasando todo al primer miembro y sacando factor común:

\[2\cdot\cos3x\cdot\cos x-\cos x=0\Rightarrow\cos x\cdot(2\cos3x-1)=0\]

Si \(\cos x=0\), entonces:

\[x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\]

Si \(2\cos3x-1=0\), entonces:

\[\cos3x=\dfrac{1}{2}\Rightarrow \begin{cases}3x=\dfrac{\pi}{3}+2k\pi\\3x=\dfrac{5\pi}{3}+2k\pi\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=\dfrac{\pi}{9}+\dfrac{2k\pi}{3}\\x=\dfrac{5\pi}{9}+\dfrac{2k\pi}{3}\end{cases}\]

Una ecuación más

\[\frac{2x-3}{6}=\frac{x}{\sqrt{1+x}}-\frac{x-1}{2}\]

La solución aquí

La solución aquí

Racionalizando el denominador de la fracción donde aparece la raíz, se tiene que la ecuación es equivalente a esta otra:

\[\frac{2x-3}{6}=\frac{x\sqrt{1+x}}{1+x}-\frac{x-1}{2}\]

Multiplicando todos los términos por \(6(1+x)\) y aislando la raíz se tiene:

\[(1+x)(2x-3)=6x\sqrt{1+x}-3(1+x)(x-1)\Rightarrow\]

\[\Rightarrow2x-3+2x^2-3x=6x\sqrt{1+x}-3x^2+3\Rightarrow\]

\[\Rightarrow5x^2-x-6=6x\sqrt{1+x}\]

Elevando los dos miembros de esta última ecuación al cuadrado, desarrollando y pasando todo al primer miembro nos queda:

\[(5x^2-x-6)^2=\left(6x\sqrt{1+x}\right)^2\Rightarrow (5x^2-x-6)(5x^2-x-6)=6x^2(1+x)\Rightarrow\]

\[\Rightarrow25x^4-5x^3-30x^2-5x^3+x^2+6x-30x^2+6x+36=36x^2+36x^3\Rightarrow\]

\[\Rightarrow25x^4-46x^3-95x^2+12x+36=0\]

Probando con los divisores del término independiente, \(36\) en este caso, y aplicando la regla de Ruffini, podemos encontrar algunas raíces enteras del polinomio \(25x^4-46x^3-95x^2+12x+36=0\), que también serán soluciones de la ecuación anterior.

De lo anterior se deduce que la ecuación \(25x^4-46x^3-95x^2+12x+36=0\), se puede escribir de la forma \((x+1)(x-3)(25x^2+4x-12)=0\). Está claro que \(x=-1\) y \(x=3\) son soluciones de esta ecuación. Las otras dos las obtenemos resolviendo la ecuación de segundo grado \(25x^2+4x-12=0\).

\[x=\frac{-4\pm\sqrt{16-4\cdot25\cdot(-12)}}{2\cdot25}=\frac{-4\pm\sqrt{1216}}{50}=\]

\[=\frac{-4\pm8\sqrt{19}}{50}=\begin{cases}\dfrac{-2+4\sqrt{19}}{25}\\\dfrac{-2-4\sqrt{19}}{25}\end{cases}\]

Las solución \(x=-1\) hay que descartarla porque anula el denominador de la ecuación inicial.

También es posible demostrar que \(x=\dfrac{-2+4\sqrt{19}}{25}\) tampoco cumple la ecuación original. Por tanto las dos únicas soluciones de esta ecuación son:

\[x_1=3\quad\text{;}\quad x_2=\dfrac{-2-4\sqrt{19}}{25}\]

Comentar

Su dirección de correo electrónico no será publicada.Los campos necesarios están marcados *

*

x

Check Also

entero

Mira hacia delante y ve el horizonte plagado de cepas. Y el sol reverbera cálido, ...

Las matemáticas y yo

Yo y las matemáticas. Mis matemáticas y yo. Las matemáticas son mi vida. Las matemáticas ...

Movimiento en un plano vertical

Aceleración de la gravedad Todos los cuerpos en caída libre cerca de la superficie terrestre, ...

Integrales indefinidas y cálculo de áreas

Uno de los problemas típicos que se proponen siempre en Selectividad, en la materia de ...