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Expresiones infinitas y la razón áurea

Supongamos que nos piden hallar un valor de \(x\) igual al de las siguientes expresiones infinitas:

\[x=\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\ldots}}}}\quad(1)\]

\[x=1+\frac{1}{\displaystyle1+\frac{1}{\displaystyle 1+\frac{1}{1+\displaystyle\frac{1}{1+\ldots}}}}\quad(2)\]

Dicho de otra manera, queremos otra forma de escribir el valor de \(x\), pero no como una expresión infinita.

En el primer caso, precisamente por ser una expresión infinita, es fácil darse cuenta de que

\[x=\sqrt{1+x}\]

Entonces:

\[x^2=1+x\Rightarrow x^2-x-1=0\]

Y resolviendo la ecuación de segundo grado:

\[x=\frac{1\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot1\cdot(-1)}}{2\cdot1}=\frac{1\pm\sqrt{1+4}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\]

Tenemos pues dos soluciones, una positiva, \(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\), y otra negativa, \(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\). La solución negativa hay que descartarla pues claramente la expresión infinita es un número positivo. La solución positiva es el famoso número de oro, que se suele representar con la letra griea phi mayúscula:

\[\Phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\]

Para la expresión \((2)\) (una fracción continua) tampoco es muy difícil darse cuenta de que se cumple la siguiente igualdad:

\[x=1+\frac{1}{x}\]

De donde:

\[x^2=x+1\Rightarrow x^2-x-1=0\]

Y se obtiene la misma ecuación de antes, es decir, con las mismas soluciones. Obviamente también hay que descartar la solución negativa pues la fracción continua es claramente positiva.

Por tanto, tanto la expresión infinita \((1)\) como la \((2)\) son iguales al número de oro \(\Phi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\).

Del número de oro no se habla por primera vez como número sino como razón. Euclides, en su obra “Elementos“, dice que “una recta ha sido cortada en extrema y media razón cuando la recta entera es al segmento mayor como el segmento mayor es al segmento menor“. Esta razón es exactamente igual a \(\Phi\). Veámoslo.

Supongamos que el punto \(C\) divide al segmento \(\overline{AB}\) en extrema y media razón, es decir:

\[\frac{\overline{AB}}{\overline{CB}}=\frac{\overline{CB}}{\overline{AC}}\]

Para mayor comodidad llamaremos \(\overline{AC}=a\) y \(\overline{CB}=b\). Entonces la igualdad anterior se convierte en

\[\frac{a+b}{b}=\frac{b}{a}\]

Si multiplicamos los dos miembros de la igualdad por \(ab\) se obtiene:

\[a(a+b)=b^2\Rightarrow a^2+ab=b^2\Rightarrow b^2-ab-a^2=0\]

La expresión \(b^2-ab-a^2=0\), la podemos ver como una ecuación donde la incógnita es \(b\). Resolviéndola tenemos que

\[b=\frac{-(-a)\pm\sqrt{(-a)^2-4\cdot1\cdot(-a^2)}}{2}=\frac{a\pm\sqrt{a^2+4a^2}}{2}=\]

\[=\frac{a\pm\sqrt{5a^2}}{2}=\frac{a\pm a\sqrt{5}}{2}=\frac{a(1\pm\sqrt{5})}{2}\]

La solución positiva de esta ecuación es \(b=\dfrac{a(1+\sqrt{5})}{2}\), de donde

\[\frac{b}{a}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\]

Es decir, \(\dfrac{b}{a}=\Phi\). La razón \(\dfrac{b}{a}\) se llama razón de oro o razón áurea. Y, naturalmente, la proporción \(\dfrac{a+b}{b}=\dfrac{b}{a}\) (igualdad entre extrema y media razón), recibe el nombre de proporción de oro o proporción áurea.

Puesto que el número \(\Phi\) satisface la ecuación \(x^2-x-1=0\), entonces \(\Phi^2-\Phi-1=0\). Las expresiones infinitas del principio de este artículo se obtienen manipulando la igualdad anterior.

Para la primera expresión infinita tenemos:

\[\Phi^2-\Phi-1=0\Rightarrow\Phi^2=1+\Phi\Rightarrow\Phi=\sqrt{1+\Phi}\]

Sustituyendo ahora el valor de \(\Phi\) del interior de la raíz precisamente por el valor de \(\Phi\) anterior se tiene:

\[\Phi=\sqrt{1+\sqrt{\Phi+1}}\]

Sustituyendo así, de manera sucesiva, el último valor de \(\Phi\) por \(\sqrt{\Phi+1}\), obtenemos:

\[\Phi=\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\ldots}}}}\]

Para la segunda expresión infinita procedemos de la siguiente forma (dividiendo todos los términos entre \(\Phi\)):

\[\Phi^2-\Phi-1=0\Rightarrow\Phi-1-\frac{1}{\Phi}=0\Rightarrow\Phi=1+\frac{1}{\Phi}\]

Sustituyendo el valor de \(\Phi\) del denominador precisamente por \(1+\dfrac{1}{\Phi}\), tenemos:

\[\Phi=1+\frac{1}{\displaystyle 1+\frac{1}{\Phi}}\]

Evidentemente, sustituyendo de manera sucesiva:

\[\Phi=1+\frac{1}{\displaystyle1+\frac{1}{\displaystyle 1+\frac{1}{1+\displaystyle\frac{1}{1+\ldots}}}}\]

Los pitagóricos observaron que la relación entre la diagonal de un pentágono y su lado es igual a \(\Phi\). De ahí que los pitagóricos tuvieran como símbolo distinguido al pentagrama (que se obtiene trazando todas la diagonales de un pentágono).

Un ejemplo más es el rectángulo áureo. En los problemas 4 y 5 de este artículo se habla del rectángulo áureo y se da un método muy sencillo para su construcción. De hecho, la espiral áurea (que aparece, por ejemplo, en la concha del nautilus) está asociada a las propiedades geométricas del rectángulo áureo.

El número de oro \(\Phi\) tiene muchas, muchas propiedades. Además, se utiliza en arquitectura, escultura y pintura como canon de belleza, y aparece en la naturaleza más veces de las que nos podamos imaginar. El corto de Cristóbal Vila (gracias Cristóbal), “Nature by numbers“, es una magnífica ilustración.

Cito también, por último, dos fenomenales libros sobre la proporción áurea.

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