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Trabajando y conjeturando con representaciones de cuadrados

En otro artículo de esta Web ya habíamos hablado sobre sumas de cuadrados. Pero… ¿qué números, sean o no cuadrados, pueden descomponerse en dos cuadrados?

Este artículo está extraído (con alguna que otra modificación) del libro Uno + uno son diez, de José María Letona. Editorial La Muralla, S.A., 2010

El autor del primer libro impreso sobre matemáticas recreativas, Bachet de Méziricac, notó que cualquier entero positivo es, o un cuadrado, o la suma de dos, tres o cuatro cuadrados. No existe una demostración de esta afirmación pero encontró, en algunos problemas de Diofanto, indicaciones que apuntaban a esta proposición y llegó a probarla hasta el \(325\).

Veamos lo fácil que resulta para los diez primeros números enteros positvos:

En estos casos lo máximo requerido ha sido de tres cuadrados, pero claramente existen números que requieren de cuatro cuadrados.

Conjeturamos pues que la ecuación

tiene una solución para la cual \(x\), \(y\), \(z\) y \(w\) son enteros no negativos.

Ahora nos preguntamos por el número de representaciones distintas como suma de cuatro cuadrados de un número entero positivo. En el siguiente sentido: la única forma de sumar el \(20\) con cuatro cuadrados es con dos nueves y dos unos, que se pueden ordenar de la siguiente manera (6 ordenaciones con dos nueves y dos unos):

Esto quiere decir que el \(20\) admite \(6\) representaciones distintas como suma de cuatro cuadrados.

Para poder familiarizarnos con el problema así enunciado pongamos un ejemplo muy particular. En este ejemplo trabajaremos con un número impar \(u\), llamaremos \(n=4u\), e intentaremos descomponerlo en suma de cuadrados impares.

Tomemos pues para nuestro ejemplo \(u=25\), con lo que \(n=4u=100\). ¿Qué cuadrados impares se pueden obtener para nuestro propósito? Los siguientes:

Si \(81\) es uno de los cuatro cuadrados cuya suma es \(100\), la suma de los otros tres será \(100-81=19\). Además:

De esta forma el \(100\) lo podremos poner como suma de cuatro cuadrados:

Expresión que admite \(12\) ordenaciones distintas:

Pero el \(100\) admite más ordenaciones. Habíamos trabajado con el \(81\). Trabajando con \(49\) y \(25\) se obtiene:

La primera de las expresiones anteriores admite \(6\) ordenaciones (como en el caso anterior del número \(20\)), la segunda admite \(12\), y le tercera es ella misma la única ordenación. Así pues podemos decir que el número \(100\) admite \(12+6+12+1=31\) representaciones diferentes. Obsérvese que la suma de las ordenaciones es el total de representaciones diferentes en suma de cuatro cuadrados impares.

Con este ejemplo hemos podido ver claramente el significado del problema. Podemos ahora revisar casos más sencillos con \(u=1,\ 3,\ 5,\ldots,\ 25\).

Si estamos en una clase con alumnos podemos dejar que ellos, en pequeños grupos de dos o tres, construyan por sí mismos la siguiente tabla:

¿Podremos encontrar una regla? ¿Hay alguna ley que una el número impar \(u\) y el número de diferentes representaciones de \(4u\) como suma de cuatro cuadrados impares?

Observemos la primera columna, de los valores de \(u\), y la última, del número de representaciones:

Desesperante, nada parece gobernar esta serie, ¿o sí? Veamos: hay números muy fáciles de relacionar.

A cada número de la primera fila que sea primo, su correspondiente de la segunda es una unidad más. Repetimos la tabla con indicación en negrita de los números primos y su correspondiente número de representaciones, que nos permite comprobar lo que decimos:

¿No parece sorprendente que los primos tengan ese papel en nuestro problema, en cuyo enunciado no aparecía el concepto de número primo?

El resto de los números de la primera fila \((1,\ 9,\ 15,\ 21,\ 25)\) son todos compuestos, salvo el \(1\). ¿Cuál es la naturaleza de éstos y sus representaciones? Dejemos aparte el \(1\). Para los demás se cumple que el correspondiente de la segunda fila es siempre mayor que \(u+1\):

Nótese que los cuadrados de la primera fila (el \(9\) y el \(25\)) corresponden con primos en la segunda (\(13\) y \(31\)).

De los otros dos tenemos

 

Una vez más, nuestra investigación nos sorprende: los factores de los números de la segunda fila exceden en una unidad a los factores de los correspondientes de la primera.

En resumen, si el número de la primera fila es \(p\) primo, el de la segunda es \(p+1\).

En el caso de que el número de la primera fila sea de la forma \(p\cdot q\), donde \(q\) es también primo, el correspondiente de la segunda fila es \((p+1)\cdot(q+1)=pq+p+q+1\).

En el caso de los cuadrados \(p^2\) (recuerda, el \(9\) y el \(25\)) el correspondiente de la segunda fila es \(p^2+p+1\) \((3^2+3+1=13,\ 5^2+5+1=31)\).

¡¡Atención!! Los números de la segunda fila nos exhiben la suma de los divisores del número de la primera.

Del resto es claro que también se cumple, ya que los primos tienen dos divisores: el mismo y la unidad.

Podemos hacer pues la siguiente

  • Conjetura

Si \(u\) es un número impar, el número de representaciones de \(4u\) como suma de cuatro cuadrados impares es igual a la suma de los divisores de \(u\).

Se puede seguir trabajando y conjeturando, esto es sólo el principio… ¿Alguien da más?

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