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Operaciones con raíces. Radicales (3). Aplicación a la resolución de problemas

Instrucciones:

Para practicar con estos problemas te recomiendo que los copies en tu cuaderno o en hojas aparte, donde debes intentar realizarlos. Estos problemas requieren cierto ingenio, el uso del teorema de Pitágoras en la mayoría de los casos y saber operar adecuadamente con radicales. Una vez que hayas finalizado, comprueba las soluciones haciendo click en el lugar correspondiente.

¡A trabajar!

Problema 1

Los puntos \(A\) y \(B\) dividen la diagonal del cuadrado en tres partes iguales.

Si el área del cuadrado es \(36\ \text{cm}^2.\), ¿cuánto medirá el lado del rombo? Da el valor exacto.

La solución aquí

La solución aquí

Como el área del cuadrado es de \(36\ \text{cm}^2.\), si llamamos \(l\) al lado del mismo, tenemos que:

\[l^2=36\Rightarrow l=\sqrt{36}\Rightarrow l=6\ \text{cm}.\]

Llamemos \(D\) a la diagonal del cuadrado, o lo que es lo mismo, a la diagonal mayor del rombo, y \(d\) a la diagonal menor. Entonces, por el teorema de Pitágoras:

\[D^2=l^2+l^2\Rightarrow D^2=6^2+6^2=36+36=72\Rightarrow\]

\[\Rightarrow D=\sqrt{72}=\sqrt{2^3\cdot3^2}=6\sqrt{2}\ \text{cm}.\]

La diagonal menor \(d\) es a tercera parte de la mayor \(D\), es decir:

\[d=\frac{D}{3}=\frac{6\sqrt{2}}{3}=2\sqrt{2}\ \text{cm}.\]

La diagonal mayor y la diagonal menor del rombo lo dividen en cuatro triángulo rectángulos. La medida de los catetos de cada uno de estos triángulos rectángulos es la mitad de la medida de cada una de las diagonales.

Llamando \(x\) al lado del rombo, se tiene que:

\[x^2=(3\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2\Rightarrow x^2=9\cdot2+2\Rightarrow x^2=20\Rightarrow x=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\ \text{cm}.\]

Problema 2

Halla la diagonal de un cubo cuyo volumen es \(5\ \text{dm}^3.\) Expresa la medida como un radical.

La solución aquí

La solución aquí

Si llamamos \(l\) al lado del cubo, como su volumen es \(5\ \text{dm}^3.\), tenemos que;

\[l^3=5\Rightarrow l=\sqrt[3]{5}\ \text{dm}.\]

Llamemos \(x\) a la diagonal de una de las caras del cuadrado.

Entonces:

\[x^2=(\sqrt[3]{5})^2+(\sqrt[3]{5})^2=2(\sqrt[3]{5})^2=2\sqrt[3]{5^2}\Rightarrow x=\sqrt{2\sqrt[3]{5^2}}=\sqrt[6]{2^3\cdot5^2}\ \text{dm}.\]

Llamemos ahora \(d\) a la diagonal del cubo (línea que une dos vértices opuestos). Entonces:

\[d^2=\left(\sqrt[6]{2^3\cdot5^2}\right)^2+(\sqrt[3]{5})^2=\sqrt[6]{2^6\cdot5^4}+\sqrt[3]{5^2}=\]

\[=2\sqrt[6]{5^4}+\sqrt[3]{5^2}=2\sqrt[3]{5^2}+\sqrt[3]{5^2}=3\sqrt[3]{5^2}\]

Por tanto:

\[d=\sqrt{3\sqrt[3]{5^2}}=\sqrt[6]{3^3\cdot5^2}=\sqrt[6]{675}\ \text{dm}.\]

Problema 3

En un cuadrado de \(10\ \text{cm}.\) de lado, recortamos en cada esquina un triángulo rectángulo isósceles de forma que obtenemos un octógono regular.

a)  Halla la medida exacta del lado del octógono.

b)  Calcula su área.

La solución aquí

La solución aquí

a)  Hemos llamado \(l\) al lado del octógono y \(x\) a cada uno de los catetos de los triángulos rectángulos isósceles que se forman en cada esquina. Como el lado del cuadrado mide \(10\ \text{cm}.\), entonces:

\[x+l+x=10\Rightarrow 2x+l=10\Rightarrow l=10-2x\]

Por otro lado, utilizando el teorema de Pitágoras en cada uno de los triángulos rectángulos de las esquinas:

\[l^2=x^2+x^2\Rightarrow l^2=2x^2\]

Sustituyendo en esta última ecuación el valor del lado del octógono obtenido anteriormente:

\[(10-2x)^2=2x^2\Rightarrow 100-40x+4x^2=2x^2\Rightarrow\]

\[\Rightarrow 2x^2-40x+100=0\Rightarrow x^2-20x+50=0\Rightarrow\]

\[\Rightarrow x=\frac{20\pm\sqrt{(-20)^2-4\cdot1\cdot50}}{2\cdot1}=\frac{20\pm\sqrt{400-200}}{2}=\frac{20\pm\sqrt{200}}{2}=\]

\[=\frac{20\pm10\sqrt{2}}{2}=\begin{cases}x_1=\frac{2(10+5\sqrt{2})}{2}=10+5\sqrt{2}\\x_2=\frac{2(10-5\sqrt{2})}{2}=10-5\sqrt{2}\end{cases}\]

La solución \(x_1=10+5\sqrt{2}\) hay que descartarla al no ajustarse al enunciado de nuestro problema, ya que es un número mayor que \(10\), y \(10\ \text{cm}.\) es justamente lo que mide el lado del cuadrado.

Por tanto, la medida de los lados iguales de cada uno de los triángulos rectángulos isósceles que se forman en las esquinas es \(x=10-5\sqrt{2}\ \text{cm}.\) Como \(l^2=2x^2\), entonces \(l=\sqrt{2x^2}=\sqrt{2}x\), y el lado del octógono medirá:

\[l=\sqrt{2}\left(10-5\sqrt{2}\right)=10\sqrt{2}-10=10\left(\sqrt{2}-1\right)\ \text{cm}.\]

b)  El área del octógono es igual al área del cuadrado (\(100\ \text{cm.}^2\)), menos el área de los cuatro triángulos que se forman en las esquinas.

El área \(A\) de cada uno de los triángulos de las esquinas es:

\[A=\frac{\text{base}\cdot\text{altura}}{2}=\frac{x\cdot x}{2}=\frac{x^2}{2}=\frac{\left(10-5\sqrt{2}\right)^2}{2}=\]

\[=\frac{100-100\sqrt{2}+50}{2}=\frac{150-100\sqrt{2}}{2}=75-50\sqrt{2}\ \text{cm.}^2\]

Por tanto el área \(S\) del octógono es:

\[S=100-4A=100-4\left(75-50\sqrt{2}\right)=100-300+200\sqrt{2}=\]

\[=200\sqrt{2}-200=200\left(\sqrt{2}-1\right)\ \text{cm.}^2\]

Observación:

Hay otra forma de hallar el área del octógono, que es utilizando la fórmula del área de un polígono regular:

\[S=\frac{\text{perimetro}\cdot\text{apotema}}{2}=\frac{p\cdot a}{2}\]

El perímetro del octógono es \(8\) veces el lado: \(p=80\left(\sqrt{2}-1\right)\) y la apotema es la distancia del centro del octógono (en este caso también del centro del cuadrado) al punto medio de cualquiera de sus lados. En este caso coincide, claramente, con la mitad del lado del cuadrado: \(a=5\).

Por tanto:

\[S=\frac{80\left(\sqrt{2}-1\right)\cdot5}{2}=\frac{400\left(\sqrt{2}-1\right)}{2}=200\left(\sqrt{2}-1\right)\ \text{cm.}^2\]

Problema 4

El “rectángulo áureo” tiene la siguiente propiedad: si cortamos en él un cuadrado, el rectángulo que queda es semejante al inicial.

Es decir:

\[CDEF\sim ABCD\]

La relación entre las dimensiones del rectángulo áureo es el número de oro \(\Phi\).

Para obtener su valor, llamamos \(\overline{AB}=1\) y \(\overline{BC}=x\).

Aplica la proporcionalidad o semejanza entre los lados de los rectángulos que obtengas y comprueba que \(\displaystyle x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\Phi\).

Comprueba también las siguientes igualdades:

a)  \(\displaystyle \Phi^2=\Phi+1\).

b)  \(\displaystyle \Phi-1=\frac{1}{\Phi}\).

c)  \(\displaystyle \Phi^3=2\Phi+1\).

d)  \(\displaystyle \Phi^4=3\Phi+2\).

La solución aquí

La solución aquí

Como los rectángulos son semejantes se tiene que \(\displaystyle \frac{x}{1}=\frac{1}{x-1}\). Resolviendo esta ecuación:

\[\frac{x}{1}=\frac{1}{x-1}\Leftrightarrow x(x-1)=1\Leftrightarrow x^2-x-1=0\Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow x=\frac{1\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot1\cdot(-1)}}{2\cdot1}=\frac{1\pm\sqrt{1+4}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\]

De las dos soluciones anteriores tomaremos la positiva, pues la negativa no da lugar a una medida. Así pues:

\[x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\]

a) Se ha demostrado anteriormente que la solución de la ecuación \(x^2-x-1=0\) es el número de oro \(\Phi\). Entonces, sustituyendo, \(\Phi^2-\Phi-1=0\), es decir, \(\Phi^2=\Phi+1\).

b) Dividiendo los dos miembros de la igualdad anterior entre \(\Phi\), tenemos \(\displaystyle\Phi=1+\frac{1}{\Phi}\), o lo que es lo mismo \(\displaystyle\Phi-1=\frac{1}{\Phi}\).

c) Multiplicando la igualdad del apartado apor \(\Phi\) tenemos \(\Phi^3=\Phi^2+\Phi\). Volviendo a hacer uso de la igualdad del apartado a), sustituimos en esta última igualdad \(\Phi^2\) por \(\Phi+1\), con lo que resulta \(\Phi^3=\Phi+1+\Phi\Rightarrow\Phi^3=2\Phi+1\).

d) Es similar al apartado c): multiplicamos la igualdad anterior por \(\Phi\) y utilizamos la igualdad del apartado a).

\[\Phi^4=2\Phi^2+\Phi\Rightarrow\Phi^4=2(\Phi+1)+\Phi\Rightarrow\Phi^4=2\Phi+2+\Phi\Rightarrow\Phi^4=3\Phi+2\]

Problema 5

A partir de un cuadrado de lado \(2\ \text{cm}.\), hemos construido el rectángulo \(ABCD\).

¿Es un rectángulo áureo? Comprueba que el cociente entre sus lados es el número de oro \(\Phi\).

La solución aquí

La solución aquí

Llamemos \(\overline{FC}=x\), al lado menor del rectángulo \(CDEF\). Establezcamos la proporción entre las dimensiones del rectángulo \(ABCD\) y las dimensiones del rectángulo \(CDEF\), y veamos qué es lo que resulta.

\[\frac{2+x}{2}=\frac{2}{x}\Rightarrow2x+x^2=4\Rightarrow x^2+2x-4=0\Rightarrow\]

\[\Rightarrow x=\frac{-2\pm\sqrt{4-4\cdot1\cdot(-4)}}{2}=\frac{-2\pm\sqrt{20}}{2}\]

La solución positiva es \(\displaystyle\frac{-2+\sqrt{20}}{2}=\frac{\sqrt{20}-2}{2}\). Simplifiquémosla.

\[\frac{\sqrt{20}-2}{2}=\frac{\sqrt{20}}{2}-\frac{2}{2}=\frac{2\sqrt{5}}{2}-1=\sqrt{5}-1\]

Así pues, la razón entre las dimensiones del rectángulo \(ABCD\) es

\[\frac{2+\overline{FC}}{2}=\frac{2+x}{2}=\frac{2+\sqrt{5}-1}{2}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}=\Phi\]

Por tanto el rectángulo \(ABCD\) es un rectángulo áureo.

Problema 6

Las dimensiones de un “velón” de cera con forma de ortoedro son \(1\), \(\Phi\) y \(\Phi+1\) decímetros.

Si se funde la cera y con la misma cantidad construimos un cubo, ¿cuánto medirá su arista?

La solución aquí

La solución aquí

El volumen del ortoedro es igual al producto de los tres lados. En este caso el volumen \(V\) será igual a \(V=1\cdot\Phi\cdot(\Phi+1)\). Pero, según la igualdad a) del problema número 4 anterior, \(\Phi^2=\Phi+1\). Por tanto \(V=1\cdot\Phi\cdot\Phi^2=\Phi^3\). De este modo, construyendo un cubo de volumen la cantidad anterior, tendremos que su arista \(a\) será igual a la raíz cúbica del volumen, es decir, \(a=\sqrt[3]{V}=\sqrt[3]{\Phi^3}=\Phi\). La conclusión es que la arista del cubo construido con la vela fundida del ortoedro es igual al número de oro \(\Phi\).

Problema 7

Supongamos que tenemos un cubo de arista \(1\):

La diagonal de una cara, \(k=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\), y la diagonal del cubo \(d=\sqrt{1^2+\sqrt{2}^2}=\sqrt{3}\), son números irracionales.

Averigua si son racionales o irracionales las distancias \(m\) y \(n\) señaladas en la figura siguiente:

La solución aquí

La solución aquí

\(m\) es la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos \(1\) y la midad de \(1\). Por tanto:

\[m^2=1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2\Rightarrow m^2=1+\frac{1}{4}\Rightarrow m^2=\frac{5}{4}\Rightarrow m=\frac{\sqrt{5}}{2}\]

Ahora, fijándose bien en la figura, \(n\) es la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos \(m\), calculado anteriormente, y \(1\). Entonces:

\[n^2=\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2+1^2\Rightarrow n^2=\frac{5}{4}+1\Rightarrow n^2=\frac{9}{4}\Rightarrow n=\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}\]

Concluimos pues que \(m\) es irracional y \(n\) es racional.

Problema 8

Halla el área de la corona circular comprendida entre las circunferencias inscrita y circunscrita en un cuadrado de \(6\ \text{m}^2\) de área. Da su valor exacto.

La solución aquí

La solución aquí

Llamemos \(r\) al radio de la circunferencia inscrita y \(R\) al radio de la circunferencia circunscrita. Entonces el área \(A\) de la corona circular es

\[A=\pi R^2-\pi r^2=(R^2-r^2)\pi\quad(1)\]

Todo se reduce pues a calcular los valores de \(r\) y de \(R\).

Como el área del cuadrado es \(6\,\text{m}^2\), su lado valdrá \(\sqrt{6}\,\text{m}\). Claramente \(r\) es la mitad del lado del cuadrado (ver figura anterior) con lo que

\[r=\frac{\sqrt{6}}{2}\,\text{m}\]

El radio \(R\) de la circunferencia circunscrita lo calcularemos usando el teorema de Pitágoras:

\[R=\sqrt{\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac{6}{4}+\frac{6}{4}}=\sqrt{3}\,\text{m}\]

Sustituyendo \(r\) y \(R\) en la expresión (1) tenemos el área de la corona circular.

\[A=\left(\sqrt{3}^2-\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^2\right)\pi=\left(3-\frac{6}{4}\right)\pi=\frac{3}{2}\pi\,\text{m}^2\]

Estos problemas han sido extraídos del libro de texto:

Colera, J. Oliveira, M. J., Gaztelu, I.: Matemáticas 4 Opción B. Educación Secundaria. Ed. Anaya.

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES “Fernando de Mena” de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

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