Últimas noticias
Home » Divulgación de las Matemáticas » La razón entre la diagonal y el lado de un pentágono

La razón entre la diagonal y el lado de un pentágono

Un problema clásico de la geometría, conocido ya en los tiempos de Pitágoras. Un reto para ejercitar nociones básicas de proporcionalidad y semejanza en figuras planas.

El enunciado es el siguiente: calcular la razón entre la diagonal y el lado de un pentágono regular.

La solución aquí

La solución aquí

Llamemos \(A_1\), \(A_2\), \(A_3\), \(A_4\) y \(A_5\) a los vértices del pentágono, \(l\) al lado y \(d\) a la diagonal del pentágono. Sea además \(P\) el punto de corte de las diagonales \(A_1A_3\) y \(A_2A_5\). Como cada diagonal es paralela a un lado del pentágono, se tiene que el cuadrilátero \(PA_3A_4A_5\) es un paralelogramo y, por tanto, \(PA_5=l\) y \(PA_2=d-l\). Como los triángulos \(A_3PA_2\) y \(A_3A_4A_1\) son semejantes (tienen los lados paralelos), se cumple que \(\displaystyle\frac{A_2P}{A_3A_4}=\frac{A_2A_3}{A_1A_3}\) y, sustituyendo el valor de cada segmento en términos de \(l\) y \(d\), tenemos que \(\displaystyle\frac{d-l}{l}=\frac{l}{d}\). Podemos transformar esta última expresión hasta convertirla en una ecuación de segundo grado cuya incógnita es la razón entre la diagonal y el lado del pentágono.

\[\frac{d-l}{l}=\frac{l}{d}\Leftrightarrow\frac{d}{l}-1=\frac{l}{d}\]

Multiplicando todos los términos por \(\displaystyle\frac{d}{l}\) obtenemos:

\[\frac{d^2}{l^2}-\frac{d}{l}=1\Leftrightarrow\left(\frac{d}{l}\right)^2-\frac{d}{l}-1=0\]

Resolviendo la ecuación de segundo grado:

\[\frac{d}{l}=\frac{1\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot1\cdot(-1)}}{2\cdot1}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\]

Evidentemente la solución a nuestro problema es la positiva, es decir:

\[\frac{d}{l}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\]

Esta cantidad se conoce con el nombre de número de oro o razón áurea. En este artículo, en concreto en los problemas 4 y 5, puedes encontrar la definición y algunas propiedades del número de oro.

Comentar

Su dirección de correo electrónico no será publicada.Los campos necesarios están marcados *

*

x

Check Also

entero

Mira hacia delante y ve el horizonte plagado de cepas. Y el sol reverbera cálido, ...

Las matemáticas y yo

Yo y las matemáticas. Mis matemáticas y yo. Las matemáticas son mi vida. Las matemáticas ...

Movimiento en un plano vertical

Aceleración de la gravedad Todos los cuerpos en caída libre cerca de la superficie terrestre, ...

Integrales indefinidas y cálculo de áreas

Uno de los problemas típicos que se proponen siempre en Selectividad, en la materia de ...