Últimas noticias
Home » Divulgación de las Matemáticas » La razón entre la diagonal y el lado de un pentágono

La razón entre la diagonal y el lado de un pentágono

Un problema clásico de la geometría, conocido ya en los tiempos de Pitágoras. Un reto para ejercitar nociones básicas de proporcionalidad y semejanza en figuras planas.

El enunciado es el siguiente: calcular la razón entre la diagonal y el lado de un pentágono regular.

La solución aquí

La solución aquí

Llamemos \(A_1\), \(A_2\), \(A_3\), \(A_4\) y \(A_5\) a los vértices del pentágono, \(l\) al lado y \(d\) a la diagonal del pentágono. Sea además \(P\) el punto de corte de las diagonales \(A_1A_3\) y \(A_2A_5\). Como cada diagonal es paralela a un lado del pentágono, se tiene que el cuadrilátero \(PA_3A_4A_5\) es un paralelogramo y, por tanto, \(PA_5=l\) y \(PA_2=d-l\). Como los triángulos \(A_3PA_2\) y \(A_3A_4A_1\) son semejantes (tienen los lados paralelos), se cumple que \(\displaystyle\frac{A_2P}{A_3A_4}=\frac{A_2A_3}{A_1A_3}\) y, sustituyendo el valor de cada segmento en términos de \(l\) y \(d\), tenemos que \(\displaystyle\frac{d-l}{l}=\frac{l}{d}\). Podemos transformar esta última expresión hasta convertirla en una ecuación de segundo grado cuya incógnita es la razón entre la diagonal y el lado del pentágono.

\[\frac{d-l}{l}=\frac{l}{d}\Leftrightarrow\frac{d}{l}-1=\frac{l}{d}\]

Multiplicando todos los términos por \(\displaystyle\frac{d}{l}\) obtenemos:

\[\frac{d^2}{l^2}-\frac{d}{l}=1\Leftrightarrow\left(\frac{d}{l}\right)^2-\frac{d}{l}-1=0\]

Resolviendo la ecuación de segundo grado:

\[\frac{d}{l}=\frac{1\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot1\cdot(-1)}}{2\cdot1}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\]

Evidentemente la solución a nuestro problema es la positiva, es decir:

\[\frac{d}{l}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\]

Esta cantidad se conoce con el nombre de número de oro o razón áurea. En este artículo, en concreto en los problemas 4 y 5, puedes encontrar la definición y algunas propiedades del número de oro.

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES “Fernando de Mena” de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

Comentar

Su dirección de correo electrónico no será publicada.Los campos necesarios están marcados *

*

x

Check Also

Logaritmos. ¿Qué son? Definición, propiedades y ejercicios

Consideremos la ecuación \(2^x=75\). Como quiera que \(2^6=64\) y \(2^7=128\), es fácil darse cuenta de ...

Matemática algorítmica y matemática dialéctica

Para exponer más fácilmente la diferencia de concepción y perspectiva que separa la matemática dialéctica ...

Resolución de triángulos

Partimos del conocimiento de las razones trigonoméricas de un ángulo agudo sobre un triángulo rectángulo. ...

Fracciones. Potencias. Radicales. Ecuaciones (1)

A %d blogueros les gusta esto: