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Usos de la trigonometría. Cálculo de alturas y distancias (IV)

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Altura de un punto de pie inaccesible desde un terreno horizontal sin obstáculos

Deseamos calcular la altura \(\overline{AB}=x\) de un punto de pie inaccesible, tal y como se muestra en la figura.

Para ello elegimos un punto \(C\) y medimos el ángulo de elevación de \(A\), que lo llamaremos \(\alpha\). Avanzamos una distancia \(\overline{CD}=d\) y desde \(D\) volvemos a medir el ángulo de elevación de \(A\), que llamaremos \(\beta\).

El método a seguir consiste en calcular \(\overline{AC}\) en el triángulo \(ACD\) y luego calcular \(x\) en el triángulo \(ACB\) (o bien calcular \(\overline{AD}\) en el triángulo \(ACD\) y a continuación \(x\) en el triángulo \(ADB\)). Obsérvese en primer lugar que conocidos \(\alpha\) y \(\beta\) se puede calcular \(\gamma\):

\[\gamma=180^{\text{o}}-(\alpha+180^{\text{o}}-\beta)=\beta-\alpha\]

Ahora aplicamos el teorema de los senos en el triángulo \(ACD\):

\[\frac{\overline{AC}}{\text{sen}\,(180^{\text{o}}-\beta)}=\frac{d}{\text{sen}\,\gamma}\Rightarrow\overline{AC}=\frac{d\cdot\text{sen}\,(180^{\text{o}}-\beta)}{\text{sen},\gamma}\]

Finalmente, en el triángulo \(ACB\) se tiene:

\[\text{sen}\,\alpha=\frac{x}{\overline{AC}}\Rightarrow x=\overline{AC}\cdot\text{sen}\,\alpha\]

De una manera análoga podemos calcular la distancia \(\overline{CB}\) si nos interesa:

\[\cos\,\alpha=\frac{\overline{CB}}{\overline{AC}}\Rightarrow \overline{CB}=\overline{AC}\cdot\cos\,\alpha\]

  • Ejemplo

Desde un punto a ras de suelo se ve la azotea de un edificio con un ángulo de elevación de 48º. Avanzando 20 metros en dirección al edificio, el ángulo de elevación se incrementa en 14º. Calcular la altura del edificio.

Solución

Llamemos \(x=\overline{AB}\) a la altura del edificio. En este caso tenemos que \(\alpha=48^{\text{o}}\), \(\beta=62^{\text{o}}\), \(d=20\) y \(\gamma=\beta-\alpha=62^{\text{o}}-48^{\text{o}}=14^{\text{o}}\) Entonces, según se ha explicado anteriormente:

\[\overline{AC}=\frac{d\cdot\text{sen}\,(180^{\text{o}}-\beta)}{\text{sen}\,\gamma}=\frac{20\cdot\text{sen}\,118^{\text{o}}}{\text{sen}14^{\text{o}}}\approxeq72,994\]

Por tanto:

\[x=\overline{AC}\cdot\text{sen}\,\alpha=\overline{AC}\cdot\text{sen}\,48^{\text{o}}\approxeq54,245\]

Es decir, la altura del edificio es de, aproximadamente, 54,245 metros.

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