Últimas noticias
Home » Álgebra » Determinantes. Propiedades y ejercicios
La regla de Sarrus

Determinantes. Propiedades y ejercicios

En la imagen superior tienes el desarrollo de un determinante de orden tres por la regla de Sarrus.

\[\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{vmatrix}=(a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32})-\\ \qquad\qquad\qquad -(a_{13}a_{22}a_{31}+a_{12}a_{21}a_{33}+a_{11}a_{23}a_{32})\]

El determinante de orden dos es muy sencillo de calcular:

\[\begin{vmatrix}
a_{11} &a_{12} \\
a_{21} &a_{22}
\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\]

Cuando el determinante es de orden mayor que tres no queda más remedio que desarrollar por una fila o por una columna, usando la siguiente propiedad:

Si los elementos de una fila o de una columna de una matriz cuadrada se multiplican por sus respectivos adjuntos y se suman los resultados, se obtiene el determinante de la matriz inicial. Se dice entonces que el determinante está desarrollado por los elementos de esa fila o de esa columna.

Para usar está propiedad a veces es conveniente, y de manera previa, “hacer ceros” en casi todos los términos de la fila o de la columna por la que vayamos a desarrollar. Y en estos casos hay que utilizar con cierto ingenio el resto de las propiedades de los determinantes. Las enumeramos a continuación y después se proponen cuatro ejercicios de este tipo.

Propiedades de los determinantes

Propiedades de los determinantes

  • El determinande de una matriz es igual que el de su traspuesta: \(|A|=|A^t|\).
  • Si en una matriz cuadrada todos los elementos de una fila o de una columna son ceros, su determinante es cero.
  • Si se permutan dos filas o dos columnas paralelas de una matriz cuadrada, su determinante cambia de signo.
  • Si en una matriz cuadrada tiene dos filas o dos columnas iguales, su determinante es cero.
  • Si multiplicamos por el mismo número todos los elementos de una fila o de una columna de una matriz cuadrada, su determinante queda multiplicado por ese número.
  • Si una matriz cuadrada tienen dos filas o dos columnas proporcionales, su determinante es cero. \[|c_1,\ldots,c_i+c_i’,\ldots,c_n|=|c_1,\ldots,c_i,\ldots,c_n|+|c_1,\ldots,c_i’,\ldots,c_n|\] Esta descomposición es válida cualesquiera sean la fila o la columna en la que se encuentren los sumandos.
  • Si denotamos por \(c_1,\ldots,c_i,\ldots,c_n\) a las \(n\) columnas de una matriz cuadrada de orden \(n\), tenemos:
  • Si una matriz tiene una fila o una columna que es combinación lineal de las demás filas o columnas paralelas, entonces su determinante es cero. Y, recíprocamente, si un determinate es cero, entonces tiene una fila (y una columna) que es combinación lienal de las demás.
  • El determinante del producto de dos matrices cuadradas es igual al producto de sus determinantes: \(|A\cdot B|=|A|\cdot|B|\)

Obtener el valor de los siguientes determinantes usando, previamente, las propiedades de los mismos. Posteriormente puedes desarrollar por los elementos de una fila o de una columna.

a) \(\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 3 & 3 & 3 & 3\\ 1 & 3 & 5 & 5 & 5\\ 1 & 3 & 5 & 7 & 7\\ 1 & 3 & 5 & 7 & 9\end{vmatrix}\)

b) \(\displaystyle \begin{vmatrix} 1+x & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1-x & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1+y & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1-y\end{vmatrix}\)

c) \(\displaystyle \begin{vmatrix} x^2+1 & xy & xz\\ xy & y^2+1 & yz\\ xz & yz & z^2+1\end{vmatrix}\)

d) \(\displaystyle \begin{vmatrix} x & y & x+y\\ y & x+y & x\\ x+y & x & y\end{vmatrix}\)

Solución apartado a)

Solución apartado a)

a) Restando a la quinta fila la cuarta, a la cuarta la tercera, a la tercera la segunda y a la segunda la primera, resulta ser el determinande de una matriz triangular, cuyo valor es el producto de los elementos de la diagonal principal (basta desarrollar por los elementos de la primera columna).

\[\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 3 & 3 & 3 & 3\\ 1 & 3 & 5 & 5 & 5\\ 1 & 3 & 5 & 7 & 7\\ 1 & 3 & 5 & 7 & 9\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 2 & 2 & 2 & 2\\ 0 & 0 & 2 & 2 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 2 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2\end{vmatrix}=1\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=16\]

Solución apartado b)

Solución apartado b)

Restando a cada fila la siguiente y sacando factor común \(x\) de la primera fila e \(y\) de la tercera, se tiene

\[\begin{vmatrix} 1+x & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1-x & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1+y & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1-y\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} x & x & 0 & 0\\ 0 & -x & -y & 0\\ 0 & 0 & y & y\\ 1 & 1 & 1 & 1-y\end{vmatrix}=\]

\[=x\cdot y\cdot\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -x & -y & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1-y\end{vmatrix}=\ (1)\]

Restando a la cuarta fila la primera y desarrollando por la primera columna

\[(1)\ =x\cdot y\cdot\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -x & -y & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 1-y\end{vmatrix}=\]

\[=x\cdot y\cdot\begin{vmatrix} -x & -y & 0\\ 0 & 1 &1\\ 0 & 1 & 1-y\end{vmatrix}=x\cdot y\cdot(-x)\cdot\begin{vmatrix}1 & 1\\1 & 1-y\end{vmatrix}=\]

\[=x\cdot y\cdot(-x)\cdot(1-y-1)=x\cdot y\cdot(-x)\cdot(-y)=x^2\cdot y^2\]

Solución apartado c)

Solución apartado c)

Multiplicando la segunda y tercera filas por \(x\)

\[\begin{vmatrix} x^2+1 & xy & xz\\ xy & y^2+1 & yz\\ xz & yz & z^2+1\end{vmatrix}=\frac{1}{x^2}\begin{vmatrix} x^2+1 & xy & xz\\ x^2y & xy^2+x & xyz\\ x^2z & xyz & xz^2+x\end{vmatrix}=\ (1)\]

Restando a la segunda fila la primera multiplicada por \(y\), y restando a la tercera fila la primera multiplicada por \(x\)

\[(1)\ =\frac{1}{x^2}\begin{vmatrix} x^2+1 & xy & xz\\ -y & x & 0\\ -z & 0 & x\end{vmatrix}=\ (2)\]

Sacando factor común \(x\) en la segunda y tercera columna y desarrollando por la regla de Sarrus

\[(2)\ =\frac{1}{x^2}\cdot x^2\cdot \begin{vmatrix} x^2+1 & y & z\\ -y & 1 & 0\\ -z & 0 & 1\end{vmatrix}=(x^2+1)-(-z^2-y^2)=x^2+y^2+z^2+1\]

Solución apartado d)

Solución apartado d)

Sumando las filas segunda y tercera a la primera

\[\begin{vmatrix} x & y & x+y\\ y & x+y & x\\ x+y & x & y\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 2x+2y & 2x+2y & 2x+2y\\ y & x+y & x\\ x+y & x & y\end{vmatrix}=\]

\[=2(x+y)\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ y & x+y & x\\ x+y & x & y\end{vmatrix}=\ (1)\]

Restando a la segunda columna la primera y a la tercera columna la primera

\[(1)\ =2(x+y)\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0\\ y & x & x-y\\ x+y & -y & -x\end{vmatrix}=2(x+y)\begin{vmatrix}x&x-y\\-y&-x\end{vmatrix}=\]

\[=2(x+y)\left(-x^2-(-y(x-y)\right)=2(x+y)(-x^2+xy-y^2)=\]

\[=2(-x^3+x^2y-xy^2-x^2y+xy^2-y^3)=-2(x^3+y^3)\]

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES "Fernando de Mena" de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

Comentar

Su dirección de correo electrónico no será publicada.Los campos necesarios están marcados *

*

x

Check Also

Logaritmos. ¿Qué son? Definición, propiedades y ejercicios

Consideremos la ecuación \(2^x=75\). Como quiera que \(2^6=64\) y \(2^7=128\), es fácil darse cuenta de ...

Matemática algorítmica y matemática dialéctica

Para exponer más fácilmente la diferencia de concepción y perspectiva que separa la matemática dialéctica ...

Resolución de triángulos

Partimos del conocimiento de las razones trigonoméricas de un ángulo agudo sobre un triángulo rectángulo. ...

Fracciones. Potencias. Radicales. Ecuaciones (1)

A %d blogueros les gusta esto: