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Cálculo de áreas de recintos planos. Volumen de un cuerpo de revolución

En este artículo damos por hecho que se saben integrar funciones elementales utilizando los conocidos métodos de integración. Utilizaremos además la conocida regla de Barrow, según la cual si \(F(x)\) es una primitiva de \(f(x)\), y \(f(x)\) es continua en un intervalo cerrado \([a\ ,\ b]\), entonces:

\[\int_a^b f(x)\, dx=F(b)-F(a)\]

Cálculo de áreas de recintos planos

Si una función \(y=f(x)\) es positiva en un intervalo cerrado \([a\ ,\ b]\), para hallar el área \(A\) comprendida entre la curva \(f\), el eje \(X\) y las rectas verticales \(x=a\), \(x=b\) pondremos:

\[A=\int_a^b f(x)\, dx\]

Ejemplo 1

Hallar el área comprendida entre la parábola \(y=4x-x^2\) y el eje \(X\).

La parábola corta al eje \(X\) en los puntos de absciasa \(0\) y \(4\), y el recinto plano considerado está situado por encima del eje \(X\) (véase la figura).

Por lo tanto el área buscada será:

\[A=\int_0^4\left(4x-x^2\right)\, dx=\left[2x^2-\frac{1}{3}x^3\right]_0^4=\frac{32}{3}\]

Si la curva es negativa en \([a\ ,\ b]\), entonces:

\[A=-\int_a^b f(x)\, dx\]

Ejemplo 2

Hallar el área comprendida entre la parábola \(y=x^2-6x+5\), las rectas \(x=1\), \(x=2\) y el eje \(X\).

Como el recinto considerado se encuentra por debajo del eje \(X\) escribiremos:

\[A=-\int_1^2\left(x^2-6x+5\right)\, dx=-\left[\frac{1}{3}x^3-3x^2+5x\right]_1^2=\frac{5}{3}\]

Si la curva es positiva y negativa a trozos en \([a\ ,\ b]\), entonces hay que integrar cada parte por separado y sumar los valores absolutos de los resultados.

Ejemplo 3

Hallar el área comprendida entre la curva \(y=\cos x\) y el eje \(X\) entre los puntos \(0\) y \(\pi\).

Si no nos damos cuenta de que hay un trozo positivo y otro negativo e integramos directamente entre \(0\) y \(\pi\) obtenemos:

\[A=\int_0^\pi\cos x\, dx=\left[\text{sen}\,x\right]_0^\pi=\text{sen}\,\pi-\text{sen}\,0=0-0=0\]

Y esto es absurdo.

En vez de eso integramos la parte positiva y la parte negativa por separado y tenemos:

\[A_1=\int_0^{\pi/2}\cos x\, dx=\left[\text{sen}\,x\right]_0^{\pi/2}=1-0=1\]

\[A_2=\int_{\pi/2}^\pi\cos x\, dx=\left[\text{sen}\,x\right]_{\pi/2}^\pi=0-1=-1\]

Sumando los valores absolutos de las dos partes, tenemos que el área buscada es \(A=1+1=2\).

Para calcular el área comprendida entre dos curvas se hallan sus puntos de intersección y se integran ambas, restando después.

Ejemplo 4

Hallar el área encerrada entre las curvas \(y=x^2\), \(y=-x^2+2x+4\).

Hallemos los puntos de intersección de las dos curvas resolviendo el sistema

\[\begin{cases}y=x^2\\y=-x^2+2x+4\end{cases}\]

Procediendo por igualación tenemos que \(x^2=-x^2+2x+4\Rightarrow2x^2-2x+4=0\). Esta ecuación tiene dos soluciones, que son \(x_1=-1\), \(x_2=2\). Por consiguiente, el área buscada es:

\[A=\int_{-1}^2\left(-x^2+2x+4\right)\, dx-\int_{-1}^2 x^2\, dx=\]

\[=\int_{-1}^2\left(-2x^2+2x+4\right)\, dx=\left[-\frac{2}{3}x^3+x^2+4x\right]_{-1}^2=9\]

Volumen de un cuerpo de revolución

Para calcular el área de una figura por medio de una integral se dividía esta figura en rectangulitos pequeñísimos de base \(dx\) y altura \(f(x)\), y la suma de las áreas de estos infinitos rectangulitos era el área de toda la figura: \(A=\int_a^b f(x)\, dx\).

De la misma manera, para calcular el volumen de un cuerpo, éste puede dividirse en finísimas rebanadas en forma de prisma o de cilindro, y pueden sumarse sus volúmenes por medio de una integral.

Si consideramos el trozo de superficie comprendido entre la curva \(y=f(x)\), el eje \(X\), y las rectas \(x=a\), \(x=b\), éste engendra al girar alrededor del eje \(X\) un cuerpo de revolución.

El volumen \(V\) de este cuerpo vale:

\[V=\pi\int_a^b\left(f(x)\right)^2\, dx\]

Demostración.

Dado un punto \(x\) comprendido entre \(a\) y \(b\), consideremos el rectángulito de base \(dx\) y altura \(f(x)\) (ver figura anterior). Este rectangulito engendra al girar alrededor del eje \(X\) un disco cilíndrico finísimo cuyo volumen vale el área de su base por su altura, es decir, \(\pi\left(f(x)\right)^2 dx\). Si sumamos los volúmenes de todos estos discos cilíndricos finísimos obtenidos de esta forma entre \(a\) y \(b\), tendremos el volumne de todo el cuerpo, es decir:

\[V=\int_a^b\pi\left(f(x)\right)^2\, dx=\pi\int_a^b\left(f(x)\right)^2\, dx\]

Ejemplo 5

Hallar el volumen del cuerpo de revolución engendrado al girar alrededor del eje \(X\) la porción de plano comprendida entre la curva \(y=\sqrt{x}\), el eje \(X\), y las rectas \(x=1\), \(x=3\).

El cuerpo de revolución es ciertamente similar al de la figura anterior. Basta pues aplicar la fórmula que acabamos de demostrar:

\[V=\pi\int_1^3(\sqrt{x})^2\, dx=\pi\int_1^3x\, dx=\pi\left[\frac{1}{2}x^2\right]_1^3=4\pi\]

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