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Integral definida

Consideremos una función \(y=f(x)\) continua en un intervalo \([a,\,b]\). Hagamos una partición de este intervalo por los puntos \(t_0,\,t_1,\,t_2,\,\ldots,\,t_{n-1},\,t_n\). Supongamos también que esta partición cumple que \(a=t_0<t_1<t_2<\ldots<t_{n-1}<t_n=b\).

Consideremos los rectángulos cuyas bases son los intervalos parciales \([t_i,\,t_{i+1}]\) y cuyas alturas son los mínimos \(m_i\) de la función en cada uno de dichos intervalos. La suma de las áreas de esos rectángulos la vamos a llamar suma inferior y la denotaremos con la letra \(s\).

Procedamos de manera y similar y hagamos la misma operación de antes tomando en lugar de los mínimos, los máximos \(M_i\) de la función en cada uno de los intervalos. La suma de las áreas de esos rectángulos la denotaremos por \(S\), y se llama suma superior.

En caso de que la altura de alguno de esos rectángulos sea negativa, el área de dicho rectángulo también se tomará negativa (esto ocurre en el caso de que la gráfica de la función se encuentre por debajo del eje \(X\)). Dicho de otro modo, el signo “menos” que preceda a un área expresa únicamente que dicha área corresponde a una región situada bajo el eje \(X\) (en otro caso, un área negativa sería algo difícil de imaginar).

Es inmediato comprobar que, dada una partición del intervalo \([a,\,b]\), la suma inferior es siempre menor o igual que la suma superior: \(s\leq S\).

Si añadimos un nuevo punto a la partición, por ejemplo \(t_1’\), las nuevas sumas inferior \(s’\) y superior \(S’\) cumplen que \(s\leq s’\) y \(S\geq S’\). En efecto, si el punto \(t_1’\) está situado, por ejemplo, entre \(t_1\) y \(t_2\), observando la figura siguiente vemos que \(s’\) excede a \(s\) y que \(S\) excede a \(S’\) en los trozos sombreados de color naranja.

Así pues, al ir añadiendo puntos, las particiones correspondientes tendrán sumas inferiores cada vez más grandes y sumas superiores cada vez más pequeñas, y puede demostrarse que tomando un número suficientemente grande de puntos para que los “intervalitos” de la partición sean suficientemente pequeños, las sumas inferior y superior se acercan tanto como queramos, es decir, \(\lim s=\lim S\) (donde estos límites representan el número al que tienden \(s\) y \(S\) cuando la longitud de los intervalitos de la partición tiende a cero).

El valor de los límites anteriores recibe el nombre de integral definida de la función \(f(x)\) en el intervalo \([a,\,b]\), y se representa del siguiente modo:

\[\int_a^b f(x)dx\]

Cuando la función \(f(x)\) es positiva, la integral definida \(\int_a^b f(x)dx\) representa el área comprendida entre la curva, el eje \(X\) y las rectas verticales \(x=a\) y \(x=b\).

Si la función \(f(x)\) no es continua en todos los puntos de \([a,\,b]\), pero este intervalo puede descomponerse en un número finito de intervalos cerrados \([a_i,\,b_i]\) en los que \(f(x)\) es continua, se define \(\int_a^b f(x)dx\) como la suma de las integrales \(\int_{a_i}^{b_i} f(x)dx\) en cada intervalo parcial \([a_i,\,b_i]\) (ver figura siguiente).

Por definición, la integral definida cumple las siguientes propiedades (se recomienda pensar en la interpretación geométrica de cada una de ellas).

\[\int_a^a f(x)dx=0\]

\[\int_a^b f(x)dx=-\int_b^a f(x)dx\]

\[\int_a^c f(x)dx+\int_c^b f(x)dx=\int_a^b f(x)dx\]

Desde un punto de vista intuitivo, la integral definida se ha de entender como una suma de infinitos sumandos que son infinitamente pequeños, es decir, el área que queda encerrada bajo la curva \(y=f(x)\) puede considerarse como suma de las áreas de los infinitos “rectangulitos” de base \(dx\) y altura \(f(x)\) (ver figura).

← 1. Concepto de área de figura plana

3. El teorema fundamental del cálculo →

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