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Cálculo de áreas de figuras planas

Tanto en el artículo dedicado al teorema fundamental del cálculo como en el de la regla de Barrow hemos visto ya ejemplos de que la integral definida \(\int_a^b f(x)dx\) se interpreta geométricamente como el área encerrada por la gráfica de la función \(f\), el eje \(X\) y las rectas verticales \(x=a\) y \(x=b\). En este artículo daremos unas pautas, según los casos, para el cálculo de áreas de figuras planas.

Caso 1

Si la función \(f(x)\) es positiva en el intervalo \([a,\,b]\) (o lo que es lo mismo, su gráfica se encuentra por encima del eje \(X\)), para hallar el área \(A\) comprendida entre la curva \(f\), el eje \(X\) y las rectas verticales \(x=a\) y \(x=b\), hallaremos una primitiva \(F\) de \(f\) y usaremos directamente la regla de Barrow:

\[A=\int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)\]

  • Ejemplo 1

Hallar el área comprendida entre la parábola \(y=4x-x^2\) y el eje \(X\).

La parábola corta al eje \(X\) en los puntos de abscisas \(0\) y \(4\), y el recinto plano del que se busca el área está situado por encima del eje \(X\).

Por lo tanto, el área buscada será:

\[A=\int_0^4(4x-x^2)dx=\left[2x^2-\frac{x^3}{3}\right]_0^4=32-\frac{64}{3}=\frac{32}{3}\,\text{u}^2\]

Caso 2

Si la curva es negativa en el intervalo \([a,\,b]\) (o lo que es lo mismo, su gráfica se encuentra por debajo del eje \(X\)), al aplicar la regal de Barrow obtendremos un número negativo. Como el área debe ser positiva haremos

\[A=-\int_a^b f(x)dx\]

  • Ejemplo 2

Hallar el área comprendida entre la parábola \(y=x^2-6x+5\), las rectas \(x=1\), \(x=2\) y el eje \(X\).

Como el trozo considerado se encuentra por debajo del eje \(X\) tendremos que

\[A=-\int_1^2(x^2-6x+5)dx=-\left[\frac{1}{3}x^3-3x^2+5x\right]_1^2=\]

\[=-\left[\left(\frac{8}{3}-12+10\right)-\left(\frac{1}{3}-3+5\right)\right]=-\left(\frac{2}{3}-\frac{7}{3}\right)=\frac{5}{3}\,\text{u}^2\]

Caso 3

Si la curva es positiva y negativa a trozos en \([a,\,b]\), entonces hay que integrar cada parte por separado y sumar los valores absolutos de los resultados. Obsérvese que, en este caso, hemos de resolver la ecuación \(f(x)=0\) para averiguar los puntos de corte de la curva con el eje \(X\).

  • Ejemplo 3

Hallar el área comprendida entre la curva \(y=\cos x\) y el eje \(X\) entre los puntos \(0\) y \(\pi\).

Si no nos damos cuenta de que hay un trozo positivo y otro negativo e integramos directamente entre \(0\) y \(\pi\) obtenemos

\[A=\int_0^\pi\cos xdx=\left[\text{sen}\,x\right]_0^\pi=\text{sen}\,\pi-\text{sen}\,0=0-0\]

y esto no es posible (una situación idéntica se presentaba en el ejemplo 2 del artículo anterior).

Por tanto, hemos de resolver la ecuación \(\cos x=0\), cuya solución es \(x=\frac{\pi}{2}\), e integramos la parte positiva y la parte negativa por separado, obteniendo:

\[A_1=\int_0^{\pi/2}\cos xdx=\left[\text{sen}\,x\right]_0^{\pi/2}=\text{sen}\frac{\pi}{2}-\text{sen}\,0=1-0=1\]

\[A_1=\int_{\pi/2}^\pi\cos xdx=\left[\text{sen}\,x\right]_{\pi/2}^\pi=\text{sen}\,\pi-\text{sen}\,\frac{\pi}{2}=0-1=-1\]

Sumando los valores absolutos de las dos partes, tenemos que el área buscada es \(A=1+1=2\,\text{u}^2\).

Caso 4. Área comprendida entre dos curvas

Para calcular el área comprendida entre dos curvas se hallan sus puntos de intersección y se integran ambas, restando después. Es decir, el área comprendida entre dos curvas \(f\) y \(g\) es igual al área comprendida entre la función diferencia, \(f-g\), y el eje \(X\).

  • Ejemplo 4

Hallar el área encerrada entre las curvas \(y=x^2\), \(y=-x^2+2x+4\).

Hallemos los puntos de intersección de las dos curvas. Para ello resolvemos el sistema correspondiente.

\[\begin{cases}y=x^2\\y=-x^2+2x+4\end{cases}\Rightarrow x^2=-x^2+2x+4\Rightarrow2x^2-2x-4=0\]

Esta última ecuación de segundo grado tiene por soluciones \(x_1=-1\) y \(x_2=2\). Por consiguiente el área buscada es:

\[A=\int_{-1}^2(-x^2+2x+4)dx-\int_{-1}^2x^2dx=\int_{-1}^2(-2x^2+2x+4)dx=\]

\[=\left[-\frac{2}{3}x^3+x^2+4x\right]_{-1}^2=\left(-\frac{16}{3}+4+8\right)-\left(\frac{2}{3}+1-4\right)=\]

\[=\frac{20}{3}-\left(-\frac{7}{3}\right)=\frac{27}{3}=9\,\text{u}^2\]

  • Ejemplo 5

Hallar el área de la región limitada por la gráficas \(f(x)=x^3-x\) y \(g(x)=x^2\).

Los cortes de \(f\) y \(g\) se obtienen resolviendo la ecuación \(x^3-x=x^2\):

\[x^3-x=x^2\Leftrightarrow x(x^2-x-1)=0\Leftrightarrow x_1=0\ ,\ x_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\ ,\ x_2=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\]

Además, como se puede observar en la gráfica siguiente

\[g(x)\leq f(x)\Leftrightarrow x\in\left[\frac{1-\sqrt{5}}{2},\,0\right]\quad\text{;}\quad f(x)\leq g(x)\Leftrightarrow x\in\left[0,\,\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right]\]

Por tanto el área \(A\) que se busca es la suma de las áreas de los recintos \(A_1\) y \(A_2\) donde

\[A_1=\int_{\frac{1-\sqrt{5}}{2}}^0(x^3-x-x^2)dx\quad\text{;}\quad A_2=\int_0^{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}(x^2-x^3+x)dx\]

Por un lado

\[A_1=\int_{\frac{1-\sqrt{5}}{2}}^0(x^3-x-x^2)dx=\left[\frac{x^4}{4}-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_{\frac{1-\sqrt{5}}{2}}^0\approxeq\]

\[\approxeq0-\left(\frac{(-0.618)^4}{4}-\frac{(-0.618)^2}{2}-\frac{(-0.618)^3}{3}\right)=\]

\[=0-(0.036-0.191+0.079)=0.0761\]

Por otro lado

\[A_2=\int_0^{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}(x^2-x^3+x)dx=\left[\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\frac{x^2}{2}\right]_0^{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}\approxeq\]

\[\approxeq\left(\frac{1.618^3}{3}-\frac{1.618^4}{4}+\frac{1.618^2}{2}\right)-0=1.412-1.713+1.309=1.008\]

Finalmente tenemos

\[A=A_1+A_2=\int_{\frac{1-\sqrt{5}}{2}}^0(x^3-x-x^2)dx+\int_0^{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}(x^2-x^3+x)dx\approxeq\]

\[\approxeq0.0761+1.008=1.0841\,\text{u}^2\]

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