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Derivada de una función usando el método de derivación logarítmica.

Derivación logarítmica

En matemáticas, habitualmente escribimos una función real de variable real utilizando la siguiente notación:

\[\begin{matrix}f\,: &\mathbb{R}  &\longrightarrow  &\mathbb{R} \\  &x  &\longmapsto   &f(x)\end{matrix}\]

Abreviadamente escribimos también \(y=f(x)\) para indicar que \(x\) es el original o variable independiente e \(y\) es la imagen por \(f\) de \(x\) o variable dependiente, o sea que \(y\) varía en función de \(x\). Esto es muy común a la hora de explicar conceptos que tengan que ver con funciones reales de variable real. En otras materias, como en física o en cualquier otra ciencia experimental, una función también se puede escribir de manera similar usando otras letras. Por ejemplo, es muy frecuente escribir \(s=s(t)\) para indicar que el espacio varía en función del tiempo. En este caso el papel de \(x\) lo juega \(t\) y el papel de \(y\) lo juega \(s\).

Así, para designar la derivada de una función \(y=f(x)\) escribiremos \(y’=f'(x)\). Es decir, dependiendo del ambiente en que nos encontremos, escribiremos unas veces la derivada mediante la expresión \(y’\), y otras veces usando la notación \(f'(x)\).

Si queremos expresar una función cuya expresión es, a su vez, una función elevada a otra función, lo más fácil es hacerlo así:

\[y=f(x)^{g(x)}\]

La derivada de esta función la notaremos:

\[y’=\left(f(x)^{g(x)}\right)’\]

Para derivar funciones del tipo anterior recurrimos a una técnica, denominada derivación logarítmica, que consiste en tomar logaritmos en ambos miembros de la igualdad y luego derivar.

En otras palabras, como \(y=f(x)^{g(x)}\) tenemos también que \(\ln y=\ln f(x)^{g(x)}\). Usando la propiedad de los logaritmos según la cual el logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base, tenemos que \(\ln y=g(x)\cdot\ln f(x)\). Derivando ahora en los dos miembros de la igualdad tenemos:

\[\frac{1}{y}\cdot y’=g'(x)\cdot\ln f(x)+g(x)\cdot\frac{1}{f(x)}\cdot f'(x)\]

Obsérvese que para derivar \(\ln y\), al ser \(y\) una función que depende de \(x\) tal y como se ha comentado anteriormente, hemos de hacer uso de la regla de la cadena, con lo que la derivada de \(\ln y\) es \(\dfrac{1}{y}\cdot y’\). Para derivar el segundo miembro se ha utilizando la regla de derivación del producto. Ahora, despejando \(y\) de la expresión anterior tenemos:

\[y’=y\left(g'(x)\cdot\ln f(x)+g(x)\cdot\frac{1}{f(x)}\cdot f'(x)\right)\Rightarrow\]

\[\Rightarrow y’=f(x)^{g(x)}\left(g'(x)\cdot\ln f(x)+\frac{g(x)\cdot f'(x)}{f(x)}\right)\]

Como la regla anterior no es fácil de recordar, lo mejor es seguir el proceso para derivar funciones en las que la variable independiente aparece tanto en la base como en el exponente. Veamos algunos ejemplos.

Derivar las siguientes funciones.

a)  \(y=x^{\cos x}\)

b)  \(y=(1+x)^{\ln x}\)

c)  \(y=\left(\dfrac{x+1}{x-1}\right)^x\)

La solución aquí

La solución aquí

a)  Tomando logaritmos en \(y=x^{\cos x}\) tenemos que \(\ln y=\ln x^{\cos x}\Rightarrow\ln y=\cos x\ln x\). Derivando ambos miembros de la igualdad:

\[\frac{1}{y}\cdot y’=-\text{sen}\,x\ln x+\cos x\frac{1}{x}\Rightarrow y’=y\left(\frac{\cos x}{x}-\text{sen}\,x\ln x\right)\Rightarrow\]

\[\Rightarrow y’=x^{\cos x}\left(\frac{\cos x}{x}-\text{sen}\,x\ln x\right)\]

b)  Tomando de nuevo logaritmos en \(y=(1+x)^{\ln x}\) tenemos que \(\ln y=\ln(1+x)^{\ln x}\Rightarrow\ln y=\ln x\ln(1+x)\). Derivando ambos miembros de la igualdad:

\[\frac{1}{y}\cdot y’=\frac{1}{x}\ln(1+x)+\ln x\frac{1}{1+x}\Rightarrow y’=y\left(\frac{\ln(1+x)}{x}+\frac{\ln x}{1+x}\right)\Rightarrow\]

\[\Rightarrow y’=(1+x)^{\ln x}\left(\frac{\ln(1+x)}{x}+\frac{\ln x}{1+x}\right)\]

c)  Procediendo como en los apartados anteriores tenemos:

\[y=\left(\dfrac{x+1}{x-1}\right)^x\Rightarrow\ln y=x\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)\quad(1)\]

Antes de derivar en los dos miembros de la igualdad, derivemos la función \(f(x)=\ln\left(\dfrac{x+1}{x-1}\right)\):

\[f'(x)=\frac{1}{\frac{x+1}{x-1}}\cdot\frac{1\cdot(x-1)-(x+1)\cdot1}{(x-1)^2}=\frac{x-1}{x+1}\cdot\frac{-2}{(x-1)^2}=\frac{-2}{x^2-1}\]

Derivando ahora los dos miembros de la igualdad en \((1)\) tenemos:

\[\frac{1}{y}\cdot y’=1\cdot\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)+x\cdot\frac{-2}{x^2-1}\Rightarrow y’=y\cdot\left(\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)-\frac{2x}{x^2-1}\right)\Rightarrow\]

\[\Rightarrow y’=\left(\dfrac{x+1}{x-1}\right)^x\left(\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)-\frac{2x}{x^2-1}\right)\]

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES “Fernando de Mena” de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

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