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Derivación de funciones en forma implícita

Hay relaciones entre variables cuya expresión analítica no es de la forma \(y=f(x)\). Es decir, la variable dependiente \(y\) no aparece despejada o de forma explícita. Por ejemplo, las ecuaciones de las cónicas relacionan de forma implícita sus variables. Se dice que la función está dada de forma implícita mediante una relación de la forma

\[f(x,y)=0\]

En muchos de estos casos es difícil o muy laborioso aislar o despejar la variable dependiente \(y\) en función de la independiente \(x\). Pero podemos realizar la derivada de la función tal y como está escrita en forma implícita, aplicando la regla de la cadena, y teniendo en cuenta que derivamos respecto de la variable independiente, que en nuestro caso es \(x\).

Veamos un par de ejemplos.

  • Ejemplo 1

Se desea calcular la recta tangente a la circunferencia \(x^2+y^2-6y-16=0\) en los puntos de abscisa \(x=3\).

Es evidente que despejar \(y\) no es fácil. Por tanto derivamos en forma implícita la ecuación, con lo que tenemos que

\[2x+2yy’-6y’-0=0\Rightarrow2x+(2y-6)y’=0\Rightarrow y’=\frac{-2x}{2y-6}=\frac{-x}{y-3}\]

Para \(x=3\), tenemos que \(9+y^2-6y-16=0\), es decir, para averiguar las ordenadas de los puntos hemos de resolver la ecuación de segundo grado anterior, cuyas soluciones son \(y=-1\), \(y=7\), por lo que los puntos en los que debemos calcular la tangente son \((3,\,-1)\) y \((3,\,7)\).

Sabemos que la ecuación de la recta tangente en un punto \((a,\,f(a))\) es \(y-f(a)=f'(a)(x-a)\). En el punto \((3,\,-1)\) tenemos que \(y’=\dfrac{-3}{-1-3}=\dfrac{3}{4}\), con lo que la recta tagente en este punto será

\[y-(-1)=\frac{3}{4}(x-3)\Rightarrow y=\frac{3}{4}x-\frac{13}{4}\]

En el punto \((3,\,7)\) tenemos que \(y’=\dfrac{-3}{7-3}=\dfrac{-3}{4}\), y en este punto la recta tangente será

\[y-7=-\frac{3}{4}(x-3)\Rightarrow y=-\frac{3}{4}x+\frac{37}{4}\]

En la figura siguiente puedes ver la circunferencia y la dos rectas tangentes en los puntos \((3,\,-1)\) y \((3,\,7)\).

  • Ejemplo 2

Vamos a calcular ahora la ecuación de la recta tangente a la curva

\[\text{sen}(x^2y)-y^2+x=2-\frac{\pi^2}{16}\]

en el punto \(\left(2,\,\dfrac{\pi}{4}\right)\).

Es fácil comprobar que la curva pasa por el punto \(\left(2,\,\dfrac{\pi}{4}\right)\) porque

\[\text{sen}\left(2^2\frac{\pi}{4}\right)-\left(\frac{\pi}{4}\right)^2+2=\text{sen}\,\pi-\frac{\pi^2}{16}+2=2-\frac{\pi^2}{16}\]

Derivemos implícitamente:

\[\cos(x^2y)(2xy+x^2y’)-2yy’+1=0\]

Sustituyendo \(x=2\) e \(y=\dfrac{\pi}{4}\), en la expresión anterior tenemos:

\[(\pi+4y’)\cos\pi-\frac{\pi}{2}y’+1=0\Rightarrow-\pi-4y’-\frac{\pi}{2}y’+1=0\Rightarrow\]

\[\Rightarrow-2\pi-8y’-\pi y’+2=0\Rightarrow(8+\pi)y’=2-2\pi\Rightarrow y’=\frac{2-2\pi}{8+\pi}\]

Por tanto la recta tangente en el punto \(\left(2,\,\dfrac{\pi}{4}\right)\)es

\[y-\frac{\pi}{4}=\frac{2-2\pi}{8+\pi}(x-2)\Rightarrow y=\frac{2-2\pi}{8+\pi}(x-2)+\frac{\pi}{4}\]

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