Últimas noticias
Home » Geometría » Potencia de un punto respecto de una circunferencia

Potencia de un punto respecto de una circunferencia

En la siguiente figura se han trazado, desde un punto \(P\), dos rectas secantes a la circunferencia, que la cortan en los puntos \(A_1\) y \(B_1\), \(A_2\) y \(B_2\), respectivamente.

Los triángulos \(PB_1A_2\) y \(PB_2A_1\) son semejantes porque tienen un ángulo común (el ángulo \(\widehat{P}\)) y dos ángulos iguales (\(\widehat{A_1}\) y \(\widehat{A_2}\) por ser ángulos inscritos en la circunferencia que abarcan el mismo arco \(B_1B_2\)).

Entonces, como triángulos semejantes tienen sus lados homólogos proporcionales, se cumple que \(\dfrac{\overline{PA_1}}{\overline{PA_2}}=\dfrac{\overline{PB_2}}{\overline{PB_1}}\). Por tanto \(\overline{PA_1}\cdot\overline{PB_1}=\overline{PA_2}\cdot\overline{PB_2}\).

Con cualquier otra secante sucedería lo mismo. Por eso, si \(A\) y \(B\) son los puntos de corte de cualquier secante, que pase por \(P\), con la circunferencia, el producto \(\overline{PA}\cdot\overline{PB}\) es constante y se llama potencia del punto \(P\) respecto de la circunferencia \(c\). Lo escribiremos así:

\[\text{Pot}_c(P)=\overline{PA}\cdot\overline{PB}\]

Si ahora tomamos para calcular la potencia, de entre todas las secantes, aquella que pasa por el centro de la circunferencia, como en la figura siguiente, tendremos:

\[\text{Pot}_c(P)=\overline{PA}\cdot\overline{PB}=(d+r)\cdot(d-r)=d^2-r^2\]

donde \(d\) es la distancia entre \(P(x_0\,,\,y_0)\) y \(C(a\,,\,b)\), o sea:

\[d=\sqrt{\left(x_0-a\right)^2+\left(y_0-b\right)^2}\]

Por tanto:

\[\text{Pot}_c(P)=(x_0-a)^2+(y_0-b)^2-r^2\]

O también:

\[\text{Pot}_c(P)=x_0^2+y_0^2+Dx_0+Ey_0+F\]

donde \(D\), \(E\) y \(F\) son los mismos valores que se tomaron al desarrollar la ecuación general de la circunferencia. Por tanto podemos hacer la siguiente afirmación.

Para calcular la potencia del punto \(P(x_0\,,\,y_0)\) respecto de la circunferencia \(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\), se halla el valor del primer miembro de la ecuación sustituyendo \(x\) por \(x_0\) e \(y\) por \(y_0\).

  • Ejemplo 3

La potencia del punto \(P(3\,,\,5)\) respecto de la circunferencia \(x^2+y^2-4x+6y-37=0\) es:

\[\text{Pot}_c(P)=9+25-12+30-37=15\]

La potencia de un punto respecto de una circunferencia nos indica la posición relativa del punto y la circunferencia, tal y como se puede apreciar en la siguiente figura.

← 2. La circunferencia

4. Eje radical de dos circunferencias →

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES "Fernando de Mena" de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

Comentar

Su dirección de correo electrónico no será publicada.Los campos necesarios están marcados *

*

x

Check Also

Logaritmos. ¿Qué son? Definición, propiedades y ejercicios

Consideremos la ecuación \(2^x=75\). Como quiera que \(2^6=64\) y \(2^7=128\), es fácil darse cuenta de ...

Resolución de triángulos

Partimos del conocimiento de las razones trigonoméricas de un ángulo agudo sobre un triángulo rectángulo. ...

Fracciones. Potencias. Radicales. Ecuaciones (1)

Ecuaciones exponenciales

Digamos que una ecuación exponencial es aquella en la que la incógnita se encuentra en ...

A %d blogueros les gusta esto: