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El carácter enigmático de las matemáticas

Este artículo se ha extraído del libro Experiencia matemática, de Philip J. Davis y Reuben Hersch.

La senda estrecha y rectilínea del cálculo formal conduce, con no poca frecuencia, hasta los pétreos muros del enigma. Fijémonos en el caso de la fórmula de Cardano para la ecuación cúbica. Tal fórmula fue publicada por vez primera en 1545, por Girolamo Cardano en su Ars Magna y daba la solución de la ecuación cúbica:

\[x^3+mx=n\]

La fórmula de Cardano fue probablemente el primer gran logro algebraico desde los babilonios, y en su día se consideró como un progreso enorme.

Daremos el desarrollo de Cardano en organización ligeramente diferente.

Supongamos que \(t\) y \(u\) sean dos números tales que las igualdades:

\[\begin{cases}t-u=n\\tu=(m/3)^3\end{cases}\qquad(1)\]

sean simultáneamente ciertas. Sea \(x\), por definición, el número

\[x=\sqrt[3]{t}-\sqrt[3]{u}=t^{1/3}-u^{1/3}\qquad(2)\]

Elevando al cubo los dos miembros de esta igualdad obtenemos

\[x^3=\left(t^{1/3}-u^{1/3}\right)^3=t-3t^{2/3}u^{1/3}+3t^{1/3}u^{2/3}-u=\]

\[=(t-u)-\left(3t^{1/3}u^{1/3}\right)\left(t^{1/3}-u^{1/3}\right)=n-mx\]

Por lo tanto, de \((1)\) y \((2)\) se deduce que \(x\) verifica la ecuación cúbica

\[x^3+mx=n\qquad(3)\]

Ahora bien, sí que sabemos como resolver el sistema (1) y despejar \(t\) y \(u\) en función de \(m\) y de \(n\). En efecto:

\[u=t-n\Rightarrow t(t-n)=(m/3)^3\Rightarrow t^2-nt-(m/3)^3=0\]

Según la conocida fórmula para la ecuación de segundo grado, una de las soluciones de esta ecuación es

\[t=\frac{n+\sqrt{n^2+(m/3)^3}}{2}=\frac{n}{2}+\sqrt{(n/2)^2+(m/3)^3}\]

y, por consiguiente,

\[u=\frac{-n}{2}+\sqrt{(n/2)^2+(m/3)^3}\]

Al sustituir esta información en la fórmula (2), se obtiene

\[x=\left(\frac{n}{2}+\sqrt{(n/2)^2+(m/3)^3}\right)^{1/3}-\left(\frac{-n}{2}+\sqrt{(n/2)^2+(m/3)^3}\right)^{1/3}\]

La fórmula anterior es la famosa solución de la ecuación cúbica, que, según se afirma, le sonsacó Cardano a su amigo y colega, el matemático Tartaglia, jurando guardarle el secreto, y que luego publicó.

Ensayémosla. Tomemos la ecuación

\[x^3+x=2\]

que tiene, es evidente, la solución

\[x=1\]

En esta ecuación

\[m=1\quad;\quad n=2\]

por lo que la fórmula de Cardano da

\[x=\left(1+\sqrt{1+\frac{1}{27}}\right)^{1/3}-\left(-1+\sqrt{1+\frac{1}{27}}\right)^{1/3}\]

Una calculadora permite obtener el valor de esta expresión en pocos instantes. Resulta

\[x=1,263762616-0,2637626158\]

que es igual a \(1\) con error menor que \(2\cdot10^{-10}\). Francamente bueno.

Envalentonados por nuestro éxito, volvemos a ensayarla. Tomemos la ecuación

\[x^3-15x=4\]

que tiene la solución evidente

\[x=4\]

La fórmula de cardano da, en este caso

\[x=(2+\sqrt{-121})^{1/3}-(-2+\sqrt{-121})^{1/3}\]

¡Hummmm! Pero, ¿como es esto?

Tenemos que darle algún «significado» a la raíz cuadrada de \(-121\). En particular, hemos de explicar cómo sumar la raíz cuadrada de \(-121\) a un número real (\(2\) o \(-2\), en este ejemplo) y cómo calcular, después, la raíz cúbica de la suma resultante. ¡Ya no podemos echar mano tan fácilmente de nuestra calculadora! Pongámonos ahora en el lugar de Cardano. Es el año 1545. Las raíces cuadradas de números negativos no tienen derecho a la existencia. La teoría de los números complejos no ha sido creada todavía. ¿De qué modo interpretar estos signos sin sentido?

He aquí la incompletitud y enigma. Las necesidades internas de las matemáticas han provocado presiones para buscar una solución. Somos curiosos. Necesitamos comprender. Nuestra metodología nos ha llevado a un nuevo problema. Habrán de pasar casi tres siglos antes de que se disponga de una teoría adecuada capaz de interpretar adecuadamente y legitimar este trabajo.

La solución definitiva de este misterio se dio hacia 1800, y consistió en interpretar los números complejos como puntos de un plano cartesiano, cuyo eje horizontal es el eje real, y cuyo eje de ordenadas es el eje «imaginario».

En cuanto llegamos a concebir que la recta real está inmersa en un plano de números complejos penetramos en un dominio de las matemáticas que es enteramente nuevo. Todo nuestro conocimiento del álgebra y del análisis reales queda ampliado y enriquecido al reinterpretarlo en el dominio complejo. Además, vemos de inmediato un sinfín de nuevos problemas y cuestiones que en el estrecho contexto de los números reales jamás hubiéramos podido plantear ni suscitar.

En la fórmula de Cardano, el confiado algebrista llega hasta una ventana, a través de la cual alcanza a ver un retazo de territorio todavía virgen.

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES "Fernando de Mena" de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

Un comentario

  1. Poner el eje imaginario perpendicular al eje real fue trascendental ya que conduce a una interpretación natural que relaciona a estos números con las rotaciones, en efecto, las potencias de un numero complejo unitario en este sistema de coordenadas representan rotaciones con respecto al origen, fue así como mas adelante Hamilton relacionó las traslaciones con rotación y creo/descubrió los cuaterniones utilizados en los transbordadores y simuladores de juegos para dirigir los movimientos relativos, es mas la rotación de una brújula con respecto a un imán representa muy bien esta relación.

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