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Bisectriz de un ángulo.

Lugares geométricos

Lugar geométrico es un conjunto de puntos que cumplen una propiedad determinada, de un modo integrante y excluyente.

  • Integrante significa que todos los puntos que la cumplen pertenecen al lugar geométrico.
  • Excluyente, que todos los puntos que no la cumplen no están en el lugar geométrico.

Una vez que se establece la propiedad geométrica que define el lugar geométrico, ha de traducirse a lenguaje algebraico de ecuaciones. Es lo que se hace en los siguientes ejemplos. En ellos veremos dos lugares geométricos básicos: la mediatriz de un segmento y las bisectrices de los ángulos que forman dos rectas.

Lugares geométricos destacables en el plano son las cónicas:

  • Circunferencia: lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a un punto fijo llamado centro es constante.
  • Elipse: lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamdos focos es constante.
  • Hipérbola: lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.
  • Parábola: lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de una recta fija llamada directriz y de un punto fijo llamdo foco.

Puedes ver un estudio de las cónicas en otro curso dedicado exclusivamente a ellas.

  • Ejemplo 18

Halla la ecuación de la mediatriz del segmento \(AB\), tal que \(A(2,2)\) y \(B(8,0)\).

La mediatriz \(m\) es el lugar geométrico de todos los puntos que distan lo mismo de los extremos del segmento.

O sea, con un punto cualquiera \(P(x,y)\) que pertenezca al lugar, se cumple:

\[d(P,A)=d(P,B)\]

Entonces

\[\sqrt{(x-2)^2+(y-2)^2}=\sqrt{(x-8)^2+(y-0)^2}\Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow(x-2)^2+(y-2)^2=(x-8)^2+y^2\Rightarrow m\equiv3x-y-14=0\]

  • Ejemplo 19

Calcula la ecuación de las bisectrices de los ángulos que forman las rectas

\[r\equiv4x-3y=0\quad;\quad s\equiv5x+12y-7=0\]

La bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico de todos los puntos del plano que distan lo mismo de cada uno de los lados del ángulo.

O sea, que un punto cualquiera \(P(x,y)\) que pertenezca al lugar, se cumple:

\[d(P,r)=d(P,s)\]

Utilizando la fórmula de la distancia de un punto a una recta vista en la lección 7 dedicada a este curso de geometría plana, la relación anterior la podemos escribir así:

\[\frac{|4x-3y|}{\sqrt{16+9}}=\frac{|5x+12y-7|}{\sqrt{25+144}}\Rightarrow\frac{4x-3y}{5}=\pm\frac{5x+12y-7}{13}\]

Con el signo \(+\):

\[b_1\equiv27x+99y+35=0\]

Con el signo \(−\):

\[b_2\equiv77x+21y-35=0\]

Obsérvese que las bisectrices \(b_1\) y \(b_2\) son perpendiculares pues el producto escalar de dos vectores directores suyos es nulo. En efecto:

\[(99,27)\cdot(-21,77)=99\cdot(-21)+27\cdot77=-2079+2079=0\]

← 9. Cambio de sistema de referencia ortonormal

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES "Fernando de Mena" de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

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