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Fórmula de la distancia del punto \(P(p_1,p_2)\) a la recta \(r\equiv Ax+By+C=0\).

Distancia de un punto a una recta

La distancia de un punto \(P(p_1,p_2)\) a una recta \(r\equiv Ax+By+C=0\) es la longitud del segmento de perpendicular a la recta, trazada por el punto \(P\), comprendido entre éste y aquella. En la figura 10, \(d(P,r)=d(P,M)\).

Para calcularla podemos hallar la recta s perpendicular a \(r\) que pasa por \(P\), resolver el sistema formado por ambas  rectas para hallar el punto \(M\) y, finalmente calcular la longitud del segmento \(PM\), es decir, \(d(P,M)\).

De todas formas lo que haremos es seguir unos pasos para deducir una fórmula general que permita hallar la distancia entre el punto \(P\) y la recta \(r\).

  • En primer lugar, se toma un punto cualquiera de \(r\), \(A(a_1,a_2)\) y se considera el vector que une el punto \(P\) con el punto \(A\), \(\overrightarrow{PA}=(a_1-p_1,a_2-p_2)\).
  • En segundo lugar, se construye el vector \(\vec{z}\), que es el normalizado del vector que une \(P\) con \(M\), es decir, aquel que tiene su misma dirección y sentido y de módulo la unidad. Sabemos por la lección anterior que es de la forma:

\[\vec{z}=\left(\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}},\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}\right)\]

  • Por último, se hace el producto escalar del vector \(\overrightarrow{PA}\) por el vector \(\vec{z}\):

\[\begin{cases}\overrightarrow{PA}\cdot\vec{z}=|\overrightarrow{PA}|\cdot|\vec{z}|\cdot\cos\alpha=|\overrightarrow{PA}|\cdot1\cdot\cos\alpha=d(P,M)\\ \overrightarrow{PA}\cdot\vec{z}=(a_1-p_1)\cdot\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}+(a_2-p_2)\cdot\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}\end{cases}\]

Ahora hemos de igualar los dos últimos resultados teniendo en cuenta que, al tratarse de una distancia, siempre es positiva o nula. Por ello siempre es posible cambiar el signo y poner valores absolutos:

\[d(P,M)=\frac{|(p_1-a_1)\cdot A+(p_2-a_2)\cdot B|}{\sqrt{A^2+B^2}}=\frac{|A\cdot p_1+B\cdot p_2+(-A\cdot a_1-B\cdot a_2)|}{\sqrt{A^2+B^2}}\]

Y como el punto \(A\) pertenece a la recta \(r\) se tiene que:

\[C=-A\cdot a_1-B\cdot a_2\]

Por tanto:

\[d(P,r)=d(P,M)=\frac{|A\cdot p_1+B\cdot p_2+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\]

Cuando la distancia que se busca, es la del origen de coordenadas \(O(0,0)\) a la recta \(Ax+By+C=0\), la fórmula anterior queda de la siguiente forma:

\[d(O,r)=\frac{|C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\]

Llamando

\[d=\begin{cases}-d(O,r)&si&C>0\\d(O,r)&si&C<0\end{cases}\]

la ecuación normal de la recta, con los cosenos directores, toma la forma:

\[\cos\alpha\cdot x+\text{sen}\,\alpha\cdot y-d=0\]

  • Ejemplo 14

Calcula los cosenos directores, la distancia al origen y la ecuación normal de la recta

\[r\equiv5x+12y-4=0\]

Ya hemos visto en el ejemplo 13 del la lección anterior que los csenos directores son:

\[\cos\alpha=\frac{5}{\sqrt{5^2+12^2}}=\frac{5}{13}\quad;\quad\cos(90^{\circ}-\alpha)=\text{sen}\,\alpha=\frac{12}{13}\]

La distancia al origen es:

\[d(O,r)=\frac{|-4|}{\sqrt{5^2+12^2}}=\frac{4}{13}\]

Como \(C<0\), entonces:

\[d=d(O,r)=\frac{4}{13}\]

Así pues la ecuación normal de la recta es:

\[r\equiv\frac{5}{13}x+\frac{12}{13}y-\frac{4}{13}=0\]

 6. Ecuación normal de la recta. Cosenos directores

8. Área del triángulo →

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES "Fernando de Mena" de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

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