Últimas noticias
Home » Geometría » Área del triángulo
Fórmula del área del triángulo de vértices los puntos \((a_1,a_2)\), \((b_1,b_2)\), \((c_1,c_2)\).

Área del triángulo

Trabajaremos en el triángulo de la figura 11.

En él, la ecuación de la recta \(r\) es

\[r\equiv\frac{x-c_1}{b_1-c_1}=\frac{y-c_2}{b_2-c_2}\Leftrightarrow(b_2-c_2)x+(b_1-c_1)y+(b_1c_2-c_1b_2)=0\]

El área \(S\) del triángulo \(ABC\) es

\[S=\frac{1}{2}\cdot|\overrightarrow{CB}|\cdot|\overrightarrow{AH}|\]

Pero

\[|\overrightarrow{CB}|=\sqrt{(b_1-c_1)^2+(b_2-c_2)^2}\]

\[|\overrightarrow{AH}|=\frac{|(b_2-c_2)a_1+(c_1-b_1)a_2+b_1c_2-c_1b_2|}{\sqrt{(b_1-c_1)^2+(b_2-c_2)^2}}\]

Obsérvese que para hallar \(AH\) se ha utilizado la fórmula de la distancia de un punto a una recta vista en la lección anterior. Sustituyendo estas expresiones en la fórmula del área del triángulo, queda

\[S=\frac{1}{2}\cdot|(b_2-c_2)a_1+(c_1-b_1)a_2+b_1c_2-c_1b_2|\]

La fórmula anterior no es fácil de recordar de memoria. Pero hay una expresión matemática equivalente, que se llama determinante, con el que no es necesario recordar esa fórmula, y se aplica como se hace en el ejemplo siguiente.

\[S=\frac{1}{2}\cdot\left|\begin{vmatrix}
a_1 & a_2 & 1\\
b_1 & b_2 & 1\\
c_1 & c_2 & 1
\end{vmatrix}\right|\]

  • Ejemplo 15

Halla el área del triángulo cuyos vértices son \(A(2\,,\,0)\); \(B(3\,,\,4)\) y \(C(-2\,,\,5)\).

 \[S=\frac{1}{2}\cdot\left|\begin{vmatrix}
2 & 0 & 1\\
3 & 4 & 1\\
-2 & 5 & 1
\end{vmatrix}\right|=\]

\[=\frac{1}{2}\cdot|2\cdot4\cdot1+3\cdot5\cdot1+0\cdot1\cdot(-2)-1\cdot4\cdot(-2)-1\cdot5\cdot2-0\cdot3\cdot1|=\frac{21}{2}\]

Los seis productos del determinante corresponden al esquema siguiente, conocido como regla de Sarrus: las diagonales continuas se suman y las diagonales en trazos se restan.

← 7. Distancia de un punto a una recta

9. Cambio de sistema de referencia ortonormal →

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES "Fernando de Mena" de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

Comentar

Su dirección de correo electrónico no será publicada.Los campos necesarios están marcados *

*

x

Check Also

Logaritmos. ¿Qué son? Definición, propiedades y ejercicios

Consideremos la ecuación \(2^x=75\). Como quiera que \(2^6=64\) y \(2^7=128\), es fácil darse cuenta de ...

Matemática algorítmica y matemática dialéctica

Para exponer más fácilmente la diferencia de concepción y perspectiva que separa la matemática dialéctica ...

Resolución de triángulos

Partimos del conocimiento de las razones trigonoméricas de un ángulo agudo sobre un triángulo rectángulo. ...

Fracciones. Potencias. Radicales. Ecuaciones (1)

A %d blogueros les gusta esto: