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Dos triángulos semejantes en posición de Tales.

Semejanza. El teorema de Tales

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En general, dos figuras son semejantes si tienen la misma forma, aunque el tamaño sea distinto. En dos figuras semejantes las longitudes de segmentos correspondientes son proporcionales. Se llama razón de semejanza o escala al cociente entre dos longitudes correspondientes.

Dos triángulos son semejantes cuando sus ángulos son iguales y sus lados son proporcionales. Los ángulos (o vértices) de un triángulo los denotaremos con letras mayúsculas y los lados con letras minúsculas. Al lado opuesto a un ángulo o vértice \(A\) se le suele designar con la misma letra pero minúscula: \(a\). Si dos triángulos \(ABC\), \(A’B’C’\) son semejantes, escribiremos \(ABC\thicksim A’B’C’\).

Por tanto, según la definición:

\[ABC\thicksim A’B’C’\Leftrightarrow A=A’\ \text{,}\ B=B’\ \text{,}\ C=C’\quad\text{;}\quad\frac{a}{a’}=\frac{b}{b’}=\frac{c}{c’}\]

Obsérvese que, en la figura anterior, si trasladamos el triángulo de la derecha, sin girar, sobre el de la izquierda, hasta superponer los vértices \(A\) y \(A’\), los triángulos encajan perfectamente. Se dice en este caso que los triángulos están en posición de Tales. La razón es porque esta situación concuerda exactamente con el Teorema de Tales, según el cual, rectas paralelas que corten a dos rectas dadas determinan segmentos proporcionales. Por tanto, dos triángulos en posición de Tales siempre son semejantes.

Teorema de Tales

\[\frac{\overline{AB}}{\overline{A’B’}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{B’C’}}=\frac{\overline{AC}}{\overline{A’C’}}\]

Triángulos en posición de Tales

 

\[\frac{\overline{AB}}{\overline{AB’}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{B’C’}}=\frac{\overline{AC}}{\overline{AC’}}\]

No es necesario comprobar que se cumplen todas las condiciones de la definición para comprobar que dos triángulos son semejantes. Los criterios de semejanza son las condiciones mínimas que se han de cumplir para que dos triángulos sean semejantes.

  • Primer criterio: dos triángulos son semejantes si tienen sus lados proporcionales.
  • Segundo criterio: dos triángulos son semejantes si dos de sus ángulos son iguales.
  • Tercer criterio: dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual y los lados que lo forman son proporcionales.

De la misma manera que se ha definido para triángulos, la semejanza se puede definir para polígonos cualesquiera. Así, dos polígonos son semejantes cuando tienen sus ángulos iguales y sus lados correspondientes proporcionales. Recordemos que se llama razón de semejanza o escala al cociente de la longitud de un lado del polígono entre la longitud correspondiente del otro polígono.

La semejanza tiene muchas aplicaciones a la resolución de problemas geométricos y situaciones reales. Veamos a continuación algunos ejercicios que se pueden resolver utilizando la semejanza.

Ejercicio 1

Calcula la altura de un edificio que proyecta una sombra de 49 metros en el momento en que un poste de 2 metros arroja una sombra de 1,25 metros.

La solución aquí

La solución aquí

El dibujo no está a escala pero nos sirve para la resolución del problema. Ambos triángulos son semejantes pues están en posición de Tales. Por tanto:

\[\frac{h}{49}=\frac{2}{1,25}\Rightarrow h=\frac{2\cdot49}{1,25}=78,4\]

La altura del edificio es de 78,4 metros.

Ejercicio 2

Las sombras de cuatro árboles miden, a las cinco de la tarde, 12 metros, 8 metros, 6 metros y 4 metros, respectivamente. El árbol pequeño tienen una altura de de 2,5 metros. ¿Qué altura tienen los demás?

La solución aquí

La solución aquí

Se pueden dibujar triángulos parecidos al del ejercicio anterior que nos sirvan para resolver este problema. No lo vamos a hacer pues el procedimiento es exactamente el mismo. Llamemos \(h_1\), \(h_2\) y \(h_3\) a las alturas de los árboles que arrojan sombras de 12 metros, 8 metros y 6 metros, respectivamente. Entonces:

\[\frac{h_1}{12}=\frac{2,5}{4}\Rightarrow h_1=\frac{2,5\cdot12}{4}=7,5\]

\[\frac{h_2}{8}=\frac{2,5}{4}\Rightarrow h_2=\frac{2,5\cdot8}{4}=5\]

\[\frac{h_3}{6}=\frac{2,5}{4}\Rightarrow h_3=\frac{2,5\cdot6}{4}=3,75\]

Así pues, las alturas de los árboles cuyas sombras miden 12 metros, 8 metros y 6 metros son, respectivamente, 7,5 metros, 5 metros y 3,75 metros.

Ejercicio 3

Se tiene un rectángulo inscrito en un triángulo isósceles, como se indica en la figura.

 

Sabiendo que la base del triángulo es \(b=2\) cm, y la altura \(h=3\) cm, y que la altura del rectángulo es \(H=2\) cm, halla cuánto mide la base del rectángulo.

La solución aquí

La solución aquí

Observando la figura anterior se aprecia con claridad que la base del rectángulo mide \(2-2x\). Los triángulos en color rojo son semejantes pues están en posición de Tales y sus alturas son, según el enunciado, de 3 cm y 2 cm. De este modo:

\[\frac{3}{1}=\frac{2}{x}\Rightarrow x=\frac{2\cdot1}{3}=\frac{2}{3}\]

Por tanto la base del rectángulo mide \(2-2x=2-2\cdot\dfrac{2}{3}=2-\dfrac{4}{3}=\dfrac{2}{3}\approx0.67\) cm.

Ejercicio 4

¿Cuál es la distancia entre el chico y la base de la torre (el chico ve la torre reflejada en el agua)?

 

La solución aquí

La solución aquí

Llamemos \(x\) a la distancia entre el punto de incidencia de la visual del chico con el agua, y el pie de la torre. Por ser ambos triángulos claramente semejantes:

\[\frac{1,76}{3,3}=\frac{16}{x}\Rightarrow x=\frac{16\cdot3.3}{1.76}=30\]

Por tanto, la distancia entre el chico en la base de la torre es \(3,3+30=33\) metros.

Ejercicio 5

El bañista se encuentra a 5 metros del barco. La borda del barco está a 1 metro sobre el nivel del mar. El mástil del barco sobresale 3 metros de la borda. El bañista ve alineados el extremos del mástil y el foco del faro.

 

¿A qué altura sobre el nivel del mar se encuentra el foco del faro?

La solución aquí

La solución aquí

Consideremos los dos triángulos siguientes. Uno, el formado por la visual del bañista, el extremo superior del mástil y la vertical del éste hasta el nivel del mar. Otro, el formado por la visual del bañista, el foco del faro y la vertical de éste hasta el nivel del mar. Ambos son semejantes (están en posición de Tales) pues el bañista ve alineados el extremo del mástil y el foco del faro. Llamemos \(h\) a la altura sobre el nivel del mar del foco del faro. La altura del primer triángulo es \(3+1=4\) metros porque la borda del barco está a 1 metro sobre el nivel del mar. La base del segundo triángulo es, claramente, \(20+5=25\) metros. Entonces:

\[\frac{h}{4}=\frac{25}{5}\Rightarrow h=\frac{25\cdot4}{5}=20\]

Por tanto el foco del faro se encuentra a 20 metros sobre el nivel del mar.

Ejercicio 6

¿A qué altura se encuentra el extremo superior de la escultura, sabiendo que Paula la ve alineada con el borde de la valla?

La solución aquí

La solución aquí

En la figura anterior se observa claramente que la altura del extremo superior de la escultura es \(x+1.6\) metros. Por semejanza tenemos:

\[\frac{x}{0.5}=\frac{4.6+0.9}{0.9}\Rightarrow x=\frac{0.5\cdot5.5}{0.9}\approx3.06\]

Por tanto la altura del extremo superior de la escultura es \(3.06+1.6=4.66\) metros.

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES “Fernando de Mena” de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

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