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Ecuación de la recta que pasa por el punto \(P(a,b)\) y tiene por vector director \(\vec{e}=(e_1,e_2)\).

Repaso de la recta en el plano afín

Sobre la figura 1 recordamos las distintas formas de la recta en el plano afín.

Dado un punto \(A(a,\,b)\) siempre podemos trazar una recta \(r\) que pase por \(A\) en una determinada dirección. Si llamamos \(\vec{e}\) a la dirección de la recta o vector director de la recta, podremos generar cualquier punto \(X(x,\,y)\) de la recta mediante la ecuación

\[\overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OA}+k\cdot\vec{e}\]

donde \(k\) es un número real y \(O\) es el origen de coordenadas (ver figura 1). Esta es la llamada ecuación vectorial de la recta.

Escribiendo en coordenadas la ecuación anterior, tenemos que \((x,\,y)=(a,\,b)+k\cdot(e_1,\,e_2)\), o lo que es lo mismo, \((x,\,y)=(a+k\cdot e_1,\,b+k\cdot e_2)\), de donde, igualando coordenadas, se obtienen las ecuaciones paramétricas de la recta:

\[\begin{cases}x=a+k\cdot e_1\\ y=b+k\cdot e_2\end{cases}\]

Despejando \(k\) de las ecuaciones paramétricas e igualando obtenemos la ecuación continua de la recta:

\[\frac{x-a}{e_1}=\frac{y-b}{e_2}\]

Si en la ecuación anterior eliminamos denominadores y pasamos todos los términos al primer miembro obtenemos la ecuación general de la recta:

\[Ax+By+Cz+D=0\]

Tomemos ahora dos rectas \(r\) y \(s\) en su forma general:

\[r\equiv Ax+By+Cz+D=0\quad\text{;}\quad s\equiv A’x+B’y+C’z+D’=0\]

Vamos a resumir las condiciones de corte (incidencia) y paralelismo.

Las rectas \(r\) y \(s\) son secantes, es decir se cortan en un punto \(P\) si:

\[r\cap s=\{P\}\Leftrightarrow\frac{A}{A’}\neq\frac{B}{B’}\]

Las rectas \(r\) y \(s\) son paralelas si:

\[r\left|\right|s\Leftrightarrow\frac{A}{A’}=\frac{B}{B’}\neq\frac{C}{C’}\]

Las rectas \(r\) y \(s\) son coincidentes si:

\[r\equiv s\Leftrightarrow\frac{A}{A’}=\frac{B}{B’}=\frac{C}{C’}\]

  • Ejemplo 1

Escribe en forma paramétrica, continua y general, la ecuación de la recta que pasa por el punto \(A(−1,3)\) y tiene un vector director \(\vec{e}=(2,5)\).

Las ecuaciones paramétricas son:

\[\begin{cases}x=-1+2k\\y=3+5k\end{cases}\]

Despejando \(k\) obtenemos las ecuación continua y eleminando denominadores y pasando todos los términos al primer miembro, la ecuación general de la recta:

\[r\equiv\frac{x+1}{2}=\frac{y-3}{5}\Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow r\equiv5(x+1)=2(y-3)\Leftrightarrow r\equiv5x-2y+11=0\]

  • Ejemplo 2

Escribe en forma paramétrica, continua y general, la ecuación de la recta que pasa por los puntos \(A(3,1)\) y \(B(-2,4)\).

 Un vector director de ella es:

\[\vec{e}=\overrightarrow{AB}=(-2-3,\,4-1)=(-5,\,3)\]

Entonces, usando el punto \(A\), por ejemplo:

\[r\equiv\begin{cases}x=3-5k\\y=1+3k\end{cases}\Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow r\equiv\frac{x-3}{-5}=\frac{y-1}{3}\Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow r\equiv3(x-3)=-5(y-1)\Leftrightarrow r\equiv3x+5y-14=0\]

  • Ejemplo 3

Dadas las rectas:

\[r\equiv x+3y+m=0\quad\text{;}\quad s\equiv2x-ny+5=0\]

halla \(m\) y \(n\), para que:

• Sean paralelas.

• Se corten en el punto \(P(1,2)\).

• Sean coincidentes.

Aplicaremos las condiciones de incidencia y paralelismo:

• Para que sean paralelas:

\[r\left|\right|s\Leftrightarrow\frac{1}{2}=\frac{3}{-n}\neq\frac{m}{5}\Rightarrow n=-6\ \text{;} \ m\neq\frac{5}{2}\]

• Para que se corten en el punto \(P(1,2)\):

\[r\cap s=P(2,\,1)\Rightarrow\begin{cases}2+3\cdot1+m=0\Rightarrow m=-5\\ 4-n\cdot1+5=0\Rightarrow n=9\end{cases}\]

• Para que sean coincidentes:

\[r\equiv s\Leftrightarrow\frac{1}{2}=\frac{3}{-n}=\frac{m}{5}\Rightarrow n=-6\ \text{;}\ m=\frac{5}{2}\]

2. Distancias entre puntos →

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES "Fernando de Mena" de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

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Referencia. Conde, J.M.; Sepulcre, J.M. Problemas elementales de olimpiadas matemáticas. Publicaciones Universidad de Alicante, 2013.

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