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Producto de números complejos en forma polar.

Producto y cociente de números complejos en forma polar

Producto de números complejos en forma polar

En la multiplicación de complejos que realizaremos a continuación, tendremos en cuenta que \(i^2=-1\). También se han de recordar, de la parte de trigonometría, los desarrollos de \(\text{cos}\,(\alpha+\beta)\) y \(\text{sen}\,(\alpha+\beta)\).

\[\text{cos}\,(\alpha+\beta)=\text{cos}\,\alpha\cdot\text{cos}\,\beta-\text{sen}\,\alpha\cdot\text{sen}\,\beta\]

\[\text{sen}\,(\alpha+\beta)=\text{sen}\,\alpha\cdot\text{cos}\,\beta+\text{cos}\,\alpha\cdot\text{sen}\,\beta\]

Supongamos pues que tenemos dos números complejos \(z_1=r_{\alpha}\) y \(z_2=r’_{\beta}\). Ambos se pueden escribir en su forma trigonométrica: \(z_1=r\cdot(\text{cos}\,\alpha+i\,\text{sen}\,\alpha)\), \(z_2=r’\cdot(\text{cos}\,\beta+i\,\text{sen}\,\beta)\). Entonces, multiplicando estas dos últimas formas tenemos:

\[z_1\cdot z_2=r_{\alpha}\cdot r’_{\beta}=r\cdot r’\cdot(\text{cos}\,\alpha+i\,\text{sen}\,\alpha)\cdot(\text{cos}\,\beta+i\,\text{sen}\,\beta)=\]

\[=r\cdot r’\cdot\left(\text{cos}\,\alpha\cdot\text{cos}\,\beta-\text{sen}\,\alpha\cdot\text{sen}\,\beta+i\cdot(\text{sen}\,\alpha\cdot\text{cos}\,\beta+\text{cos}\,\alpha\cdot\text{sen}\,\beta)\right)=\]

\[=r\cdot r’\cdot(\text{cos}(\alpha+\beta)+i\cdot(\text{sen}(\alpha+\beta))=(r\cdot r’)_{\alpha+\beta}\]

Así pues, resumiendo:

\[r_{\alpha}\cdot r’_{\beta}=(r\cdot r’)_{\alpha+\beta}\]

La fórmula anterior proporciona la forma de realizar productos de números complejos en forma polar. Obsérvese que el resultado es otro número complejo cuyo módulo es el producto de los módulos y cuyo argumento es la suma de los argumentos.

  • Ejemplo 4

Multiplica los números complejos \(z_1=2_{30^\text{o}}\) y \(z_2=3_{60^\text{o}}\), dando el resultado en todas las formas posibles.

\[z_1\cdot z_2=(2\cdot3)_{30^\text{o}+60^\text{o}}=6_{90^\text{o}}=6\cdot(\text{cos}\,90^{\text{o}}+i\cdot\text{sen}\,90^{\text{o}})=\]

\[=6\cdot(0+1\cdot i)=6i=(0,\,6)\]

  • Ejemplo 5

Multiplica el número complejo \(z_1=a+bi=r_{\alpha}\) por el complejo \(z_2=i\), dando una interpretación geométrica del resultado.

Como \(z_2=i=0+1\cdot i\), entonces \(r=\sqrt{0^2+1^2}=\sqrt{1}=1\) y \(\text{tg}\,\alpha=\dfrac{1}{0}\). Esto último quiere decir que el argumento principal de \(z_2=i\) es \(\alpha=90^{\text{o}}\). Por tanto \(z_2=i=1_{90^{\text{o}}}\) (en realidad no haría falta hacer todo esto para obtener la forma polar de \(i\), sino que bastaría pensar en su forma como par, \((0,\,1)\), y en el afijo correspondiente). Así pues:

\[z_1\cdot z_2=(r\cdot1)_{\alpha+90^{\text{o}}}\]

La interpretación geométrica o gráfica del resultado equivale a girar el vector correspondiente al complejo \(z_1=a+bi=r_{\alpha}\) un ángulo recto en el sentido opuesto al giro de las agujas del reloj. Dicho de otra manera, la multiplicación del complejo \(a+bi\) por \(i\) proporciona como resultado el número complejo \(-b+ai\) (ver figura).

Cociente de números complejos. Inverso de un número complejo

En la división de números complejos también deberemos tener en cuenta que \(i^2=-1\) y, además, también tendremos que tener en cuenta los desarrollos de \(\text{cos}\,(\alpha-\beta)\) y \(\text{sen}\,(\alpha-\beta)\):

\[\text{cos}\,(\alpha-\beta)=\text{cos}\,\alpha\cdot\text{cos}\,\beta+\text{sen}\,\alpha\cdot\text{sen}\,\beta\]

\[\text{sen}\,(\alpha-\beta)=\text{sen}\,\alpha\cdot\text{cos}\,\beta-\text{cos}\,\alpha\cdot\text{sen}\,\beta\]

Supongamos entonces que tenemos dos números complejos cualesquiera \(z_1=r_{\alpha}\) y \(z_2=r’_{\beta}\). Ambos se pueden escribir en su forma trigonométrica: \(z_1=r\cdot(\text{cos}\,\alpha+i\,\text{sen}\,\alpha)\), \(z_2=r’\cdot(\text{cos}\,\beta+i\,\text{sen}\,\beta)\). Dividiendo estas dos últimas formas ayudándonos de la técnica de multiplicar y dividir por el conjugado del divisor, y simplificando con la ayuda de las igualdades anteriores, tenemos:

\[\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_{\alpha}}{r’_{\beta}}=\frac{r}{r’}\cdot\frac{\text{cos}\,\alpha+i\,\text{sen}\,\alpha}{\text{cos}\,\beta+i\,\text{sen}\,\beta}=\frac{r}{r’}\cdot\frac{(\text{cos}\,\alpha+i\,\text{sen}\,\alpha)\cdot(\text{cos}\,\beta-i\,\text{sen}\,\beta)}{(\text{cos}\,\beta+i\,\text{sen}\,\beta)\cdot(\text{cos}\,\beta-i\,\text{sen}\,\beta)}=\]

\[=\frac{r}{r’}\cdot\frac{\text{cos}\,\alpha\cdot\text{cos}\,\beta+\text{sen}\,\alpha\cdot\text{sen}\,\beta+i(\text{sen}\,\alpha\cdot\text{cos}\,\beta-\text{cos}\,\alpha\cdot\text{sen}\,\beta)}{\text{cos}^2\,\beta+\text{sen}^2\,\beta}=\]

\[=\frac{r}{r’}\cdot(\text{cos}(\alpha-\beta)+i\cdot\text{sen}(\alpha-\beta))=\left(\frac{r}{r’}\right)_{\alpha-\beta}\]

Resumiendo:

\[\frac{r_{\alpha}}{r’_{\beta}}=\left(\frac{r}{r’}\right)_{\alpha-\beta}\]

Esto quiere decir que el resultado de dividir dos números complejos en forma polar es otro número complejo de módulo el cociente de los módulos y de argumento la diferencia de los argumentos (obsérvese la analogía con el producto de números complejos en forma polar).

  • Ejemplo 6

Divide los números complejos \(z_1=4_{45^\text{o}}\) y \(z_2=i\), dando el resultado en todas las formas posibles.

Sabemos que \(i=1_{90^\text{o}}\). Entonces:

\[\frac{z_1}{z_2}=\frac{4_{45^\text{o}}}{1_{90^\text{o}}}=4_{-45^\text{o}}=4\cdot(\text{cos}(-45^\text{o})+i\cdot\text{sen}(-45^\text{o}))=\]

\[=4\cdot\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i\right)=2\sqrt{2}-2\sqrt{2}i=(2\sqrt{2},\,-2\sqrt{2})\]

Para calcular el inverso de un número complejo no nulo, basta darse cuenta de que \(1=1+0\cdot i=1_{0^\text{o}}\). Entonces, aplicando la fórmula de la división de números complejos en forma polar, el inverso del número complejo no nulo \(z=r_{\alpha}\), es:

\[\frac{1}{r_{\alpha}}=\frac{1_{0^\text{o}}}{r_{\alpha}}=\left(\frac{1}{r}\right)_{-\alpha}\]

Es decir, el inverso de un número complejo no nulo, tiene por módulo el inverso del módulo y por argumento principal el opuesto del suyo.

En el siguiente apartado veremos la potenciación de números complejos en forma polar.

← 4. Forma polar de un número complejo

6. Potenciación de números complejos en forma polar. Fórmula de Moivre →

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES "Fernando de Mena" de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

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