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Inecuaciones de segundo grado.

Inecuaciones de segundo grado y de grado superior

Una inecuación de segundo grado se puede reducir, en su forma general, a uno de los siguientes cuatro tipos:

\[ax^2+bx+c<0\quad;\quad ax^2+bx+c\leq0\quad;\quad ax^2+bx+c>0\quad;\quad ax^2+bx+c\geq0\]

La resolución de este tipo de inecuaciones se lleva a cabo factorizando el polinomio de segundo grado y estudiando el signo de los factores. Veámoslo con un ejemplo.

Resolver la inecuación:

\[x^2+4x-12\geq0\]

En primer lugar, resolvemos la ecuación de segundo grado asociada a la inecuación: \(x^2+4x-12=0\). Sus soluciones son \(x_1=-6\) y \(x_2=2\). Eso quiere decir que el polinomio \(x^2+4x-12\) se puede escribir como producto de dos factores: \(x^2+4x-12=(x+6)(x-2)\). Por tanto la inecuación original también se puede escribir así:

\[(x+6)(x-2)\geq0\]

En segundo lugar dividimos la recta real en tantos trozos o intervalos como nos indiquen las soluciones de la ecuación de segundo grado. En este caso, como hay dos soluciones, la recta real queda dividida en tres trozos: uno, de “menos infinito” a la solución menor, que en nuestro caso es \(-6\); otro trozo que es el intervalo comprendido entre la solución menor y la solución mayor, es decir, el trozo que va de \(-6\) a \(2\) y, finalmente, el último trozo, que va desde la solución mayor, que es \(2\) en nuestro caso, hasta “más infinito”. En definitiva, la recta real queda dividida en este caso de la siguiente manera:

\[(-\infty,\ -6)\quad;\quad(-6,\ 2)\quad;\quad(2,\ +\infty)\]

Ahora se trata de estudiar el signo de cada uno de los factores de la inecuación en cada uno de los intervalos para, finalmente obtener el signo del producto \((x+6)(x-2)\). En nuestro caso la solución estará formada por aquellos números reales que hagan tal producto mayor que cero, es decir, donde el signo sea positivo. Para todo esto podemos confeccionar una tabla.

\[\begin{matrix}&(-\infty,\ -6)&(-6,\ 2)&(2,\ +\infty)\\\hline x+6&-&+&+\\x-2&-&-&+\\\hline(x+6)(x-2)&+&-&+ \end{matrix}\]

La confección de esta tabla es sencilla. Por columnas (o en la primera fila) colocamos ordenadamente los tres trozos en los que anteriormente hemos dividido la recta real, y por filas (o en la primera columna) colocamos cada uno de los factores en los que se descompone el polinomio de segundo grado, así como el producto de ambos. Para obtener los signos sustituimos un valor arbitrario de cada intervalo en cada uno de los factores. Realizamos el cálculo y colocamos el signo del resultado. Los signos de la última fila (los del producto de los dos factores) se obtienen multiplicando los dos signos inmediatamente superiores. Así por ejemplo los signos que hay por debajo de la semirrecta \((-\infty,\ -6)\) se obtienen tomando un número cualquiera de la semirrecta \((-\infty,\ -6)\), por ejemplo el \(-7\), y sustituyéndolo en el factor \(x+6\). Al hacerlo se obtiene \(-7+6=-1\), que es negativo, con lo que colocamos el primer signo “menos”. Sustituimos también \(-7\) en el siguiente factor, \(x-2\), obteniendo \(-7-2=-9\), que también es negativo, con lo que colocamos otro signo “menos”. Ahora multiplicamos ambos signos para obtener el signo del producto de factores \((x+6)(x-2)\). Como “menos” por “menos” es “más”, colocamos finalmente un signo “más”. Este signo “más” indica que en la semirrecta \((-\infty,\ -6)\), el producto \((x+6)(x-2)\) es mayor que cero. Con lo que la semirrecta \((-\infty,\ -6)\) será solución de nuestra inecuación. El otro signo “más” del producto se corresponde con la otra semirrecta \((2,\ +\infty)\), lo que indica que ésta también será solución de nuestra inecuación. El intervalo \((-6,\ 2)\) no es solución de nuestra inecuación porque en él, el signo es “menos”, o sea que en ése intervalo el producto es negativo o menor que cero, y nosotros buscamos los números en los que el producto es mayor o igual que cero. Por tanto, la solución de nuestra inecuación de segundo grado es:

\[(-\infty,\ -6]\cup[2,\ +\infty)\]

Obsérvese que las semirrectas se han cerrado porque la inecuación original incluye el “igual” a cero, con lo que deberemos incluir las soluciones de la ecuación de segundo grado. El símbolo \(\cup\) indica unión, es decir, que la solución es la unión de ambas semirrectas.

Como podrás observar es más difícil explicar este procedimiento que llevarlo a cabo realmente en la práctica.

Resolvamos la inecuación de la imagen superior. Para ello eliminaremos denominadores y obtendremos la inecuación reducida. Luego confeccionaremos la tabla y decidiremos cuál es la solución.

\[\frac{x^2-9}{5}-\frac{x^2-4}{15}\leq\frac{1-2x}{3}\Rightarrow\]

\[\Rightarrow 3x^2-27-x^2+4\leq5-10x\Rightarrow2x^2+10x-28\leq0\]

Las soluciones de la ecuación de segundo grado asociada, \(2x^2+10x-28=0\), son \(x_1=-7\) y \(x_2=2\), con lo que la inecuación de segundo grado se puede escribir de la forma:

\[2(x+7)(x-2)\leq0\]

Obsérvese que el coeficiente de la \(x^2\), \(2\) en este caso, también es un factor del polinomio \(2x^2+10x-28\). En este caso, como es positivo, no va a afectar al signo de la solución que obtengamos tras confeccionar nuestra tabla. Si fuera negativo, lo mejor es transformarlo en positivo multiplicándolo por \(-1\) y cambiando el sentido de la desigualdad, de tal manera que la inecuación \(-a(x-x_1)(x-x_2)\leq0\) sería equivalente a la inecuación \(a(x-x_1)(x-x_2)\geq0\) y resolveríamos esta última, para obtener las soluciones de la primera.

Construyamos pues nuestra tabla.

\[\begin{matrix}&(-\infty,\ -7)&(-7,\ 2)&(2,\ +\infty)\\\hline x+7&-&+&+\\x-2&-&-&+\\\hline(x+7)(x-2)&+&-&+ \end{matrix}\]

Como queremos que el producto \(2(x+7)(x-2)\) sea menor o igual que cero, las soluciones se corresponderán con aquéllas donde en la última fila se encuentre el signo “menos” (observa de nuevo cómo el factor \(2\), al ser positivo, no cambiará el signo del producto \((x+7)(x-2)\)). Por tanto la solución de la inecuación de segundo grado será el intervalo \([-7,\ 2]\). Volvemos a escribirlo cerrado porque queremos que el producto sea menor o igual que cero. Si la desigualdad hubiera sido estricta, es decir, menor que cero, la solución hubiera sido la misma, pero el intervalo sería abierto en vez de cerrado.

Este método permite resolver inecuaciones de grado superior a dos. Lo único que tenemos que hacer es añadir en la tabla tantos factores como aparezacan en la factorización del polinomio correspondiente. Así, por ejemplo, si queremos resolver la inecuación \(-3x^3+12x^2+3x-13>0\), lo que hacemos es factorizar el polinomio y convertir la inecuación a otra equivalente:

\[-3(x+1)(x-1)(x-4)>0\]

Como el coeficiente principal es negativo multiplicamos por \(-1\) para obtener una inecuación equivalente:

\[3(x+1)(x-1)(x-4)<0\]

Ahora confeccionamos nuestra tabla (observa que ahora, al haber tres raíces, la recta real queda dividida en cuatro trozos):

\[\begin{matrix}&(-\infty,\ -1)&(-1,\ 1)&(1,\ 4)&(4,\ +\infty)\\\hline x+1&-&+&+&+\\x-1&-&-&+&+\\x-4&-&-&-&+\\\hline(x+1)(x-1)(x-4)&-&+&-&+ \end{matrix}\]

Por tanto la solución de la inecuación es \((-\infty,\ -1)\cup(1,\ 4)\). Observa cómo ahora no cerramos los intervalos pues en la desigualdad la inecuación no contiene el “igual”.

Para finalizar, una interpretación gráfica. Si representamos gráficamente la función \(y=-3x^3+12x^2+3x-13\) veremos que los trozos en los que gráfica queda por encima del eje \(X\) (trozos en los que \(-3x^3+12x^2+3x-13\) es mayor que cero), son justamente los que hemos obtenido para la solución de la inecuación. Obsérvalo en la gráfica siguiente.

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