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Ecuación con la incógnita en el denominador.

Ecuaciones con la incógnita en el denominador

Si algunos de los términos de una ecuación contienen denominadores en los que aparecen expresiones algebraicas incluyendo la incógnita que se pretende despejar, se pueden suprimir multiplicando todos los téminos por el producto de todos ellos o, mejor aún, por su mínimo común múltiplo. Una vez eliminados los denominadores, la ecuación a la que se llega puede ser de las que se saben resolver a un nivel, digamos, de matemáticas de cuarto de Educación Secundaria Obligatoria, es decir, una ecuación de primer o de segundo grado, una bicuadrada o incluso una ecuación con radicales.

Resolvamos, como ejemplo, la ecuación de la imagen superior.

\[\frac{x+1}{x^2-2x}+\frac{x-1}{x}=2\]

Para obtener el mínimo común múltiplo de los denominadores debemos factorizar el primero de ellos: \(x^2-2x=x(x-2)\). Entonces la ecuación es equivalente a esta otra:

\[\frac{x+1}{x(x-2)}+\frac{x-1}{x}=2\]

Ahora es fácil darse cuenta de que el mínimo común múltiplo de los denominadores es, precisamente, \(x^2-2x=x(x-2)\). Multipliquemos por él todos los términos.

\[x(x-2)\cdot\frac{x+1}{x(x-2)}+x(x-2)\cdot\frac{x-1}{x}=x(x-2)\cdot2\Rightarrow\]

\[\Rightarrow x+1+(x-2)(x-1)=2x(x-2)\]

Operando y reduciendo términos semejantes nos queda una ecuación de segundo grado:

\[x+1+x^2-x-2x+2=2x^2-4x\Rightarrow\]

\[\Rightarrow -x^2+2x+3=0\Rightarrow x=\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot(-1)\cdot3}}{2\cdot(-1)}=\]

\[=\frac{-2\pm\sqrt{4+12}}{-2}=\frac{-2\pm\sqrt{16}}{-2}=\frac{-2\pm4}{-2}=\begin{cases}x_1=\dfrac{-2+4}{-2}\Rightarrow x_1=-1\\x_2=\dfrac{-2-4}{-2}\Rightarrow x_2=3 \end{cases}\]

Veamos que ambas soluciones satisfacen la ecuación original.

\[\frac{-1+1}{(-1)^2-2\cdot(-1)}+\frac{-1-1}{-1}=\frac{0}{3}+\frac{-2}{-1}=0+2=2\]

\[\frac{3+1}{3^2-2\cdot3}+\frac{3-1}{3}=\frac{4}{3}+\frac{2}{3}=\frac{6}{3}=2\]

Te propongo, finalmente, que resuelvas las siguientes ecuaciones con la incógnita en el denominador.

a) \(\dfrac{x}{x-1}+\dfrac{2x}{x+1}=3\)

Solución

Solución

Multiplicando todos los términos por \((x-1)(x+1)\), la ecuación queda de la siguiente manera:

\[x(x+1)+2x(x-1)=3(x+1)(x-1)\]

Eliminando paréntesis y reduciendo términos semejantes llegamos a una ecuación sencilla:

\[x^2+x+2x^2-2x=3x^2-3\Rightarrow-x=-3\Rightarrow x=3\]

b) \(\dfrac{5}{x+2}+\dfrac{x}{x+3}=\dfrac{3}{2}\)

Solución

Solución

Multiplicando todos los términos por \(2(x+2)(x+3)\), la ecuación queda así:

\[10(x+3)+2x(x+3)=3(x+2)(x+3)\]

Ahora eliminamos paréntesis y operamos para llegar a una ecuación de segundo grado:

\[10x+30+2x^2+6x=3x^2+15x+18\Rightarrow x^2-x-12=0\]

Entonces:

\[x=\frac{1\pm\sqrt{1-(-48)}}{2}=\frac{1\pm7}{2}=\begin{cases}x_1=4\\x_2=-3\end{cases}\]

La solución \(x=-3\) debemos de descartarla porque anula el denominador de la ecuación original.

c) \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{3}{4}\)

Solución

Solución

Multiplicando todos los términos por \(4x^2\) queda:

\[4x+4=3x^2\Rightarrow3x^2-4x-4=0\]

Resolviendo la ecuación de segundo grado:

\[x=\frac{4\pm\sqrt{16-(-48)}}{6}=\frac{4\pm8}{6}=\begin{cases}x_1=2\\x_2=-\frac{4}{6}=-\frac{2}{3}\end{cases}\]

d) \(\dfrac{x+1}{x+5}+\dfrac{1-x}{x-4}=\dfrac{5}{2}\)

Solución

Solución

Multiplicando los dos miembros de la igualdad por \(2(x+5)(x-4)\) la ecuación se reduce y es sencillo hallar las soluciones:

\[2(x-4)(x+1)+2(x+5)(1-x)=5(x+5)(x-4)\Rightarrow\]

\[\Rightarrow2x^2-6x-8-2x^2-8x+10=5x^2+5x-100\Rightarrow 5x^2+19x-102=0\]

Resolviendo la ecuación de segundo grado:

\[x=\frac{-19\pm\sqrt{361+2040}}{10}=\frac{-19\pm49}{10}=\begin{cases}x_1=3\\x_2=-\frac{68}{10}=-\frac{34}{5}\end{cases}\]

e) \(\dfrac{x+7}{x+3}+\dfrac{x^2-3x+6}{x^2+2x-3}=-1\)

Solución

Solución

Si se factoriza el polinomio \(x^2+2x-3\) queda \(x^2+2x-3=(x+3)(x-1)\), con lo que la ecuación adopta la siguiente forma:

\[\frac{x+7}{x+3}+\frac{x^2-3x+6}{(x+3)(x-1)}=-1\]

Multiplicando todos los términos por \((x+3)(x-1)\) tenemos:

\[(x-1)(x+7)+x^2-3x+6=-(x+3)(x-1)\Rightarrow\]

\[\Rightarrow x^2+6x-7+x^2-3x+6=-x^2-2x+3\Rightarrow 3x^2+5x-4=0\]

El discriminante de la ecuación de segundo grado es

\[\Delta=5^2-4\cdot3\cdot(-4)=25+48=73\]

Por tanto las soluciones son:

\[x_1=\frac{-5+\sqrt{73}}{6}\quad;\quad x_2=\frac{-5-\sqrt{73}}{6}\]

En el ejercicio 2 de esta relación tienes, entre otras, más ecuaciones con la incógnita en el denominador. Al final de la relación puedes encontrar las soluciones de cada una de ellas.

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES “Fernando de Mena” de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

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