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Ecuación bicuadrada y su transformación en una de segundo grado.

Ecuaciones bicuadradas

Una ecuación bicuadrada es una ecuación de cuarto grado a la que le faltan los términos de grado impar.

\[ax^4+bx^2+c=0\quad;\quad a\neq0\]

Para resolverlas se realiza el cambio de variable \(x^2=z\), y entonces ocurre lo siguiente:

\[ax^4+bx^2+c=0\Rightarrow a\left(x^2\right)^2+bx^2+c=0\Rightarrow az^2+bz+c=0\]

Esta última es una ecuación de segundo grado cuya incógnita es ahora \(z\). Ahora, para obtener las soluciones de la ecuación original hay que deshacer el cambio.

Es decir, si \(z\) es una solución positiva de la última ecuación de segundo grado, tendremos dos soluciones \(x_1\) y \(x_2\) para la bicuadrada:

\[x^2=z\Rightarrow\begin{cases}x_1=+\sqrt{z}\\x_2=-\sqrt{z}\end{cases}\]

En el caso de que \(z=0\) sea una solución de la de segundo grado, también \(x=0\) será una solución de la bicuadrada, pues de \(x^2=0\) se deduce \(x=0\).

Finalmente, una solución negativa \(z\) de \(az^2+bz+c=0\) no lleva asociada ninguna solución real de la bicuadrada ya que la ecuación \(x^2=z\) carece de soluciones reales al ser \(z<0\).

Mejor veamos todo lo anterior con un ejemplo concreto.

Para resolver la ecuación de la imagen que encabeza este artículo, \(x^4-10x^2+9=0\), realizamos el cambio de variable mencionado, \(x^2=z\), con lo que la ecuación bicuadrada se convierte en la ecuación de segundo grado \(z^2-10z+9=0\). Resolviendo esta última se tiene:

\[z=\frac{10\pm\sqrt{(-10)^2-4\cdot1\cdot9}}{2\cdot1}=\frac{10\pm\sqrt{100-36}}{2}=\frac{10\pm\sqrt{64}}{2}=\]

\[=\frac{10\pm8}{2}=\begin{cases}z_1=\displaystyle\frac{10+8}{2}\Rightarrow z_1=9\\z_2=\displaystyle\frac{10-8}{2}\Rightarrow z_2=1\end{cases}\]

Ahora deshacemos el cambio para obtener las soluciones de la ecuación bicuadrada.

Para \(z_1=9\) es \(x^2=9\Rightarrow x=\sqrt{9}\Rightarrow\displaystyle\begin{cases}x_1=3\\x_2=-3\end{cases}\).

Para \(z_2=1\) es \(x^2=1\Rightarrow x=\sqrt{1}\Rightarrow\displaystyle\begin{cases}x_3=1\\x_4=-1\end{cases}\).

Te propongo, finalmente, que resuelvas las siguientes ecuaciones:

a) \(x^4-9x^2+20=0\)

b) \(4x^4-5x^2+1=0\)

c) \(x^4-18x^2+81=0\)

d) \(\left(x^2+1\right)^2+6=5(x^2+1)\)

e) \(\left(2x^2+1\right)^2-5=(x^2+2)(x^2-2)\)

Las soluciones aquí

Las soluciones aquí

Los apartados a), b) y c) se resuelven de manera similar al ejemplo resuelto anteriormente. Las soluciones finales de cada una de ellas son:

a) \(x_1=-\sqrt{5}\ ,\ x_2=\sqrt{5}\ ,\ x_3=-2\ ,\ x_4=2\)

b) \(\displaystyle x_1=-\frac{1}{2}\ ,\ x_2=\frac{1}{2}\ ,\ x_3=-1\ ,\ x_4=1\)

c) \(x_1=-3\ ,\ x_2=3\)

Resolvamos ahora el aparado d).

d) \(\left(x^2+1\right)^2+6=5(x^2+1)\Rightarrow x^4+2x^2+1+6=5x^2+5\Rightarrow\)

\(\Rightarrow x^4-3x^2+2=0\)

Haciendo el cambio \(x^2=z\) tenemos: \(z^2-3z+2=0\). Resolviendo esta última ecuación de segundo grado:

\[z=\frac{3\pm\sqrt{9-8}}{2}=\frac{3\pm1}{2}=\begin{cases}z_1=2\\z_2=1\end{cases}\]

Entonces:

\[\begin{cases}z=2\Rightarrow x^2=2\Rightarrow x=\pm\sqrt{2}\\z=1\Rightarrow x^2=1\Rightarrow x=\pm1\end{cases}\]

Las resolución del apartado e) se hace procediendo de manera similar a como se ha hecho en el apartado d).

e) \(\left(2x^2+1\right)^2-5=(x^2+2)(x^2-2)\Rightarrow4x^4+4x^2+1-5=x^4-4\Rightarrow\)

\(\Rightarrow3x^4+4x^2=0\).

En este caso podemos extraer \(x^2\) factor común: \(x^2(3x^2+4)=0\). De \(x^2=0\) se obtiene la solución \(x=0\). Por otro lado, de \(3x^2+4=0\) no se obtiene solución real. Por tanto, la única solución es \(x=0\).

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES "Fernando de Mena" de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

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