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Ecuación de la recta que pasa por el punto \((x_0,y_0)\) y tiene pendiente \(m\).

Ecuación punto-pendiente. Otras ecuaciones de la recta

Observemos la figura 5:

En primer lugar vamos a hallar el vector director \(\vec{p}=(p_1,p_2)\) de la recta \(r\) que venga dada en su forma general:

\[r\equiv Ax+By+C=0\]

En la figura se ha dibujado la recta \(r\) y otra paralela a ella, \(s\), que pasa por el origen de coordenadas. Por tanto la ecuación de será de la forma:

\[s\equiv Ax+By=0\]

Tomemos un punto cualquiera \(A(x_1,y_1)\) de \(s\) distinto del origen de coordenadas, es decir, \(x_1\neq0\).  Este punto \(A\) ha de satisfacer la ecuación de la recta \(s\), o sea:

\[Ax_1+By_1=0\]

Ahora, dividiendo por \(x_1\), tenemos:

\[A+B\frac{y_1}{x_1}=0\Rightarrow\frac{y_1}{x_1}=-\frac{A}{B}\]

 Observemos ahora que en los triángulos \(OAB\) y \(OPT\) se cumple:

\[\text{tg}\,\alpha=\frac{y_1}{x_1}=\frac{p_2}{p_1}=-\frac{A}{B}\]

Es conocido que la tangente de la inclinación de una recta (ángulo que forma con el eje \(OX\)) se le llama pendiente, y se la representa por \(m\). Entonces:

\[m=-\frac{A}{B}=\frac{p_2}{p_1}\]

Y, por tanto, un vector director de \(r\) es:

\[\vec{p}=(-B,A)\]

  • Ejemplo 7

Calcula el ángulo que forman las rectas

\[r\equiv2x-5y+6=0\quad;\quad s\equiv-7x+4y-3=0\]

Utilizando lo que hemos visto anteriormente, es fácil darse cuenta de que vectores directores de \(r\) y \(s\) son, respectivamente:

\[\vec{p}=(5,2)\quad;\quad \vec{q}=(-4,-7)\]

Por tanto:

\[\cos\alpha=\frac{|5\cdot(-4)+2\cdot(-7)|}{\sqrt{29}\cdot\sqrt{65}}=0,78311\Rightarrow\alpha=38^{\circ}27’\]

Por cierto, hay otra manera de calcular el ángulo de dos rectas, sin necesidad de hallar antes vectores directores suyos. Observa la figura 6.

En la figura, las rectas:

\[r\equiv Ax+By+C=0\quad;\quad s\equiv A’x+B’y+C’=0\]

se cortan en \(T\) bajo un ángulo \(\alpha\), y forman con el eje de abscisas el triángulo \(TPQ\). El ángulo γ es ángulo exterior del triángulo, y es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes. O sea:

\[\gamma=\alpha+\beta\Rightarrow\alpha=\gamma-\beta\]

Las pendientes de \(r\) y \(s\) son, respectivamente:

\[m_1=\text{tg}\,\beta\quad;\quad m_2=\text{tg}\,\gamma\]

Entonces utilizando una conocida identidad trigonométrica:

\[\text{tg}\,\alpha=\text{tg}(\gamma-\beta)=\frac{\text{tg}\,\gamma-\text{tg}\,\beta}{1+\text{tg}\,\gamma\cdot\text{tg}\,\beta}\]

Fórmula que si la escribirmos en función de las pendientes de las rectas, queda de la forma:

\[\text{tg}\,\alpha=\frac{m_2-m_1}{1+m_2\cdot m_1}\]

  • Ejemplo 8

Calcula, usando las pendientes, el ángulo que forman las rectas:

\[r\equiv x+3y-2=0\quad;\quad s\equiv2x-3y+5=0\]

Hallemos las pendientes y usemos la fórmula anterior:

\[\begin{cases}m_1=-\frac{A}{B}=-\frac{1}{3}\\ m_2=-\frac{A}{B}=\frac{2}{3}\end{cases}\Rightarrow\text{tg}\,\alpha=\frac{2/3+1/3}{1+2/3\cdot(-1/3)}=1,2857\Rightarrow\]

\[\Rightarrow \alpha=52^{\circ}7’\]

Observemos ahora la figura 7. En ella se representa la recta \(r\) de inclinación \(\alpha\) y de pendiente \(m=\text{tg}\,\alpha\).

Consideremos sobre la recta un punto determinado \(A(x_0,y_0)\), y también, un punto cualquiera de ella \(X(x,y)\). En la figura se ha formado el triángulo \(ABX\) en el que se cumple:

\[\text{tg}\alpha=m=\frac{y-x_0}{x-x_0}\]

Es decir:

\[r\equiv y-y_0=m\cdot(x-x_0)\]

La ecuación anterior se suele llamar ecuación punto-pendiente de la recta \(r\), y es muy cómoda cuando se conoce un punto de la recta y su pendiente.

Observemos ahora la figura 8:

Si aplicamos la ecuación punto-pendiente al punto \(Q(0,b)\), se obtiene:

\[y-b=m\cdot(x-0)\]

Es decir:

\[r\equiv y=m\cdot x+b\]

La ecuación anterior es la llamada forma explícita de la recta \(r\). El término \(b\) es la ordenada en el origen.

Otro enfoque es el siguiente. Un vector director de \(r\) es:

\[\vec{p}=\overrightarrow{PQ}=(0-a,b-0)=(-a,b)\]

Considerando el punto \(P(a,0)\), la ecuación continua de una recta, nos lleva al siguiente resultado:

\[\frac{x-a}{-a}=\frac{y}{b}\Leftrightarrow bx-ab=-ay\Leftrightarrow bx+ay=ab\]

Dividiendo todos los términos entre \(ab\):

\[r\equiv\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\]

La ecuación anterior suele llamarse ecuación canónica de la recta. En ella \(a\) y \(b\) son, respectivamente, la abscisa y la ordenada en el origen.

← 3. Ángulo de dos rectas

5. Paralelismo y perpendicularidad →

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES "Fernando de Mena" de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

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