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Distancia entre los puntos \(A(x_1,y_1)\) y \(B(x_2,y_2)\).

Distancias entre puntos

En primer lugar veamos la distancia de un punto \(A(x,\,y)\) al origen de una referencia ortonormal \((O\,;\,\{i,\,j\})\).

En la figura 2, la distancia \(OA\) es el módulo del vector de posición \(OA=(x,\,y)\); es decir:

\[|\overrightarrow{OA}|=\sqrt{\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OA}}=\sqrt{x\cdot x+y\cdot y}=\sqrt{x^2+y^2}\]

o sea:

\[d(A,O)=\sqrt{x^2+y^2}\]

Obsérvese cómo se obtiene lo mismo que al aplicar el teorema de Pitágoras en el triángulo de la figura 2.

Ahora calculamos, sobre la figura 3, la distancia \(AB\):

\[\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1)\quad;\quad|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\]

O sea:

\[d(A,B)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\]

Obsérvese que se ha obtenido otra vez el mismo resultado que se obtiene al aplicar el teorema de Pitágoras en el triángulo de la figura 3.

  • Ejemplo 4

Calcula el perímetro \(P\) de un rombo, uno de cuyos lados es \(AB\), con \(A(2,\,15)\) y \(B(7,\,3)\).

\[d(A,B)=\sqrt{(7-2)^2+(3-15)^2}=\sqrt{25+144}=13\]

\[P=4\cdot d(A,B)=4\cdot13=52\]

← 1. Repaso de la recta en el plano afín

3. Ángulo de dos rectas →

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES "Fernando de Mena" de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

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