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El conjunto de los números complejos.

De los reales a los complejos. Definición y operaciones básicas con números complejos

Intentar resolver la ecuación \(x^2+9=0\) nos lleva a \(x=\sqrt{-9}\), expresión que no tiene sentido en el conjunto de los números reales, puesto que no existe ningún número real cuyo cuadrado sea \(-9\). Esta situación pone de manifiesto la necesidad de ampliar los conjuntos de números, de tal manera que tengan cabida estas soluciones. Es cierto que, de crear nuevos números, como \(\sqrt{-9}\), tendremos que proponernos que el conjunto que los incluya también incluya a todos los reales, y además que se conserven la estructura o propiedades del conjunto de los número reales.

Recuérdese que se amplió el conjunto de los números naturales, \(\mathbb{N}\), al de los números enteros, \(\mathbb{Z}\), entre otras cosas para poder restar y así resolver ecuaciones del tipo \(3x+6=0\). De manera análoga se amplió el conjunto de los enteros al de los racionales, \(\mathbb{Q}\), o de las fracciones. En este último conjunto ya era posible resolver ecuaciones del tipo \(3x-5=0\), cuya solución no tenía cabida en el conjunto de los enteros. Finalmente, con la radicación, se extiende el conjunto de los racionales al de los números reales, \(\mathbb{R}\), en el cual ya tienen cabida números como \(\sqrt{2}\), número irracional solución de la ecuación \(x^2-2=0\).

Nos proponemos pues la extensión del cuerpo de los números reales \(\mathbb{R}\) a un conjunto que incluya, entre otras cosas, la posibilidad de realizar raíces de índice par de cualquier número real negativo, o lo que es lo mismo, de resolver ecuaciones del tipo

\[x^{2k}+a=0\quad k\in\mathbb{N},\ a\in\mathbb{R}^+\]

Este nuevo conjunto que pretendemos definir será el cuerpo de los números complejos, \(\mathbb{C}\), de tal manera que tengamos la siguiente cadena de inclusiones entre los conjuntos mencionados:

\[\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C}\]

Así pues, definiremos el conjunto de los números complejos como el conjunto de pares del producto cartesiano \(\mathbb{R}^2=\mathbb{R}\times\mathbb{R}\):

\[\mathbb{C}=\{(a,\,b)\ :\ a,\,b\in\mathbb{R}\}\]

Al primer elemento del par o del número complejo, lo llamaremos parte real y al segundo parte imaginaria. Asi, por ejemplo, si consideramos el número complejo \((\sqrt{5},\,-7)\), la parte real es \(\sqrt{5}\) y la parte imaginaria es \(-7\). Ni que decir tiene que dos números complejos serán iguales, por definición, si y sólo si, lo son respectivamente, sus partes reales y sus partes imaginarias:

\[(a,\,b)=(a’,\,b’)\Leftrightarrow\begin{cases}a=a’\\b=b’\end{cases}\]

Suma y multiplicación de números complejos

La suma se define de manera natural como habitualmente se hace con los puntos del plano cartesiano \(\mathbb{R}^2\):

\[(a,\,b)+(c,\,d)=(a+c,\,b+d)\]

El producto es menos natural, pero hace que el conjunto de los números complejos tenga una estructura adecuada:

\[(a,\,b)\cdot(c,\,d)=(a\cdot c-b\cdot d,\,a\cdot d+b\cdot c)\]

Por ejemplo:

\[(\sqrt{3}-1,\,5)+(\sqrt{3},\,-7)=(\sqrt{3}-1+\sqrt{3},\,5+(-7))=(2\sqrt{3}-1,\,-2)\]

\[(\sqrt{2},\,3)\cdot(1,\,\sqrt{2})=(\sqrt{2}\cdot1-3\cdot\sqrt{2},\,\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}+3\cdot1)=(-2\sqrt{2},\,5)\]

Nótese que la definición de número complejo identifica cada par ordenado del plano real con un número complejo, y sólo con uno. Por tanto al subconjunto de \(\mathbb{C}\) formado por los complejos cuya parte imaginaria es nula, lo podemos identificar con el eje de abscisas, o lo que es lo mismo, con la recta real \(\mathbb{R}\). Con más precisión, podemos definir una aplicación \(f\)

\[\begin{array}{rccc}f:&\mathbb{C}&\longrightarrow&\mathbb{R}\\&(a,0)&\mapsto &a\end{array}\]

que es claramente biyectiva (a cada elemento del primer conjunto le corresponde, mediante \(f\), uno y solo uno del segundo), y que conserva las operaciones suma y producto, es decir:

\[f\left((a,\,0)+(b,\,0)\right)=f(a+b,0)=a+b=f(a,0)+f(b,0)\]

\[f\left((a,\,0)\cdot(b,\,0)\right)=f(a\cdot b,\,0)=a\cdot b=f(a,\,0)\cdot f(b,\,0)\]

Esto indica que el subconjunto de \(\mathbb{C}\) formado por los complejos con parte imaginaria nula y el conjunto de los números reales se comportan exactamente igual para las operaciones suma y producto. En términos rigurosamente matemáticos se dice que ambos conjuntos son isomorfos (vamos, iguales) y que, por tanto, \((a,\,0)=a\).

En definitiva, acabamos de demostrar que el conjunto de los números complejos recién definido con sus operaciones suma y producto, contiene al conjunto de los números reales: \(\mathbb{R}\subset\mathbb{C}\). Hemos extendido pues, formalmente, el conjunto \(\mathbb{R}\) al conjunto \(\mathbb{C}\).

Por último, obsérvese que con la notación recién estrenada tendremos que:

\[(0,\,1)\cdot(0,\,1)=(0\cdot0-1\cdot1,\,0\cdot1+0\cdot1)=(-1,\,0)=-1\Rightarrow (0,\,1)^2+1=0\]

Lo anterior indica que la ecuación \(x^2+1=0\) sí que tiene solución dentro del conjunto de los números complejos: el número \((0,\,1)\). Este número recibe el nombre de unidad imaginaria y se denota con la letra \(i\). Por tanto \(i^2=-1\).

Pero sobre los números imaginarios puros, la forma binómica de un número complejo y su representación gráfica hablaremos en la próxima sección.

2. Forma binómica de un número complejo. Representación gráfica →

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES "Fernando de Mena" de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

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