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Coseno del ángulo de dos rectas cuyos vectores directores son \(\vec{p}=(p_1,p_2)\) y \(\vec{q}=(q_1,q_2)\).

Ángulo de dos rectas

Al cortarse dos rectas aparecen cuatro ángulos, dos a dos iguales (figura 4).

Se conviene en llamar ángulo de las rectas \(r\) y \(s\) a uno de los dos menores iguales que forman. Por tanto:

\[\alpha\leqslant90^{\circ}\]

y, entonces,

\[0\leqslant\cos\alpha\leqslant1\]

El ángulo de dos rectas es el ángulo que forman sus vectores directores. Si las rectas son:

\[\overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OA}+k\cdot\vec{p}\]

\[\overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OB}+k\cdot\vec{q}\],

el ángulo que forman se puede calcular despejando de la expresión del producto escalar de dos vectores:

\[\cos\alpha=\cos(\widehat{a,b})=\frac{|\vec{p}\cdot\vec{q}|}{|\vec{p}|\cdot|\vec{q}|}\]

Si usamos las componentes correspondientes:

\[\cos\alpha=\frac{|p_1\cdot q_1+p_2\cdot q_2|}{\sqrt{p_1^2+p_2^2}\cdot\sqrt{q_1^2+q_2^2}}\]

De acuerdo con lo que se ha establecido (el ángulo se encuentra entre cero y noventa grados), tomamos el numerador en valor absoluto y en el denominador, las raíces cuadradas positivas.

  • Ejemplo 5

Halla el ángulo que forman las rectas

\[r\equiv\begin{cases}x=1-2k\\ y=2+3k\end{cases}\quad;\quad s\equiv\frac{x-1}{4}=\frac{y+2}{-1}\]

Los vectores directores de \(r\) y \(s\) son, respectivamente:

\[\vec{p}=(-2,3)\quad;\quad \vec{q}=(4,-1)\]

Entonces:

\[\cos\alpha=\frac{|(-2)\cdot4+3\cdot(-1)|}{\sqrt{13}\cdot\sqrt{17}}=0,73994\Rightarrow\alpha=42^{\circ}16’\]

  • Ejemplo 6

Las rectas

\[r\equiv\frac{x-1}{2}=\frac{y}{3}\quad;\quad s\equiv\frac{x}{1}=\frac{y-2}{-2}\]

se cortan en un punto \(A\), que es vértice de un triángulo obtusángulo en \(A\). Calcula el ángulo \(\widehat{A}\) de ese triángulo.

Los vectores directores de r y s son, respectivamente:

\[\vec{p}=(2,3)\quad;\quad\vec{q}=(1,-2)\]

Por tanto:

\[\cos\alpha=\frac{|2\cdot1+3\cdot(-2)|}{\sqrt{13}\cdot\sqrt{5}}=\frac{4}{\sqrt{65}}=0,49314\Rightarrow\alpha=60^{\circ}15’\]

Como el ángulo A es obtuso:

\[\widehat{A}=180^{\circ}-\alpha=119^{\circ}45’\]

← 2. Distancias entre puntos

4. Ecuación punto-pendiente. Otras ecuaciones de la recta →

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES "Fernando de Mena" de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

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