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Funciones exponenciales.

La función exponencial

Las funciones exponenciales se utilizan para describir fenómenos de crecimiento y decrecimiento.

Una función exponencial en su versión más simplificada adopta la forma \(f(x)=a^x\) donde la base \(a\) es un número positivo y distinto de la unidad.

Dominio y continuidad

El dominio de las funciones exponenciales es \(\mathbb{R}\) y son continuas en él.

Puntos de corte con los ejes y signo

Las funciones exponenciales cortan al eje \(Y\) en el punto \((0,\,1)\) pues \(a^0=1\) para cualquier \(a\). No cortan al eje \(X\) porque la ecuación exponencial \(a^x=0\) no tiene solución. De hecho, si \(a>0\), entonces \(a^x>0\), para todo \(x\) real, con lo que la gráfica de la función exponencial estará siempre “por encima” del eje \(X\), es decir, las funciones exponenciales son positivas en todo su dominio. Comentar también que la función exponencial pasa por el punto \((1,\,a)\) ya que \(a^1=a\).

Monotonía

Si \(a>1\) son crecientes, tanto más cuanto mayor sea \(a\). El crecimiento de cualquiera de ellas llega a ser muy rápido, superando a cualquier función potencia (funciones del tipo \(y=kx^n\)). Por eso la expresión crecimiento exponencial es sinónimo de crecimiento muy rápido.

Si \(0<a<1\) la función exponencial es decreciente.

Comportamiento en el infinito

Este apartado está muy ligado al anterior.

Si \(a>1\) tenemos, por un lado, que si \(x\rightarrow+\infty\), entonces \(a^x\rightarrow+\infty\); y por otro lado, si \(x\rightarrow-\infty\), entonces \(a^x\rightarrow0\). Escrito en términos de límites:

\[\lim_{x\to+\infty}a^x=+\infty\quad\text{;}\quad\lim_{x\to-\infty}a^x=0\]

Si \(0<a<1\) tenemos, por un lado, que si \(x\rightarrow+\infty\), entonces \(a^x\rightarrow0\); y por otro lado, si \(x\rightarrow-\infty\), entonces \(a^x\rightarrow+\infty\). Escrito también en términos de límites:

\[\lim_{x\to+\infty}a^x=0\quad\text{;}\quad\lim_{x\to-\infty}a^x=++\infty\]

De lo anterior de deducen algunas reglas útiles para el cálculo de límites. Son las siguientes:

Si \(a>1\), entonces \(a^{+\infty}=+\infty\) y \(a^{-\infty}=0\).

Si \(a<1\), entonces \(a^{+\infty}=0\) y \(a^{-\infty}=+\infty\).

También de lo anterior se desprende que la gráfica de la función exponencial se acerca indefinidamente al eje \(X\) sin llegar a cortarlo (recuerda que \(a^x>0\)); por la izquierda si \(a>1\) y por la derecha si \(0<a<1\). Es decir, el eje \(X\) es una asíntota horizontal.

Ejemplos gráficos

A continuación se representan gráficamente, y por ese orden, las funciones \(y=2^x\), \(y=\left(\dfrac{1}{2}\right)^x\).

La función exponencial \(y=2^x\).

La función exponencial \(y=\left(\frac{1}{2}\right)^x\).

En matemáticas superiores la función exponencial de base el número \(e\), \(y=e^x\), es extraordinariamente importante (es la única función cuya derivada es ella misma). Tanto es así que cuando se habla de la “función exponencial”, sin mencionar cuál es su base, se está haciendo referencia a ella.

También son exponenciales las funciones \(y=a^{kx}\), pues \(a^{kx}=(a^k)^x\). Es decir, \(y=a^{kx}\) es una función exponencial de base \(a^k\).

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