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Número combinatorio.

Factorial de un número y números combinatorios

Factorial de un número natural

Se define el factorial de un número natural \(n\), que escribiremos \(n!\) y leeremos “\(n\) factorial”, de la siguiente manera

\[n!=n(n-1)(n-2)(n-3)\cdots3\cdot2\cdot1\]

También, por definición, convendremos que \(0!=1\).

Así por ejemplo \(7!=7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=5040\)

El número \(n!\) es el total de permutaciones distintas que se pueden hacer con \(n\) elementos. Así, si consideramos \(3\) elementos, por ejemplo \(\{a,\,b,\,c\}\) hay seis permutaciones posibles de los mismo pues \(3!=6\). Son las siguientes:

\[abc\quad acb\quad bac\quad bca\quad cab\quad cba\]

Si \(n\) fuera igual a \(10\) tendríamos que \(10!=3628800\) lo que querría decir, por ejemplo, que si hay \(10\) personas sentadas en un fila de un cine que tiene \(10\) butacas, podrían sentarse en esa misma fila de \(3628800\) formas distintas.

Números combinatorios

Supongamos dos números naturales \(n\) y \(m\) con \(n\geqslant m\). Se define el número combinatorio \(\displaystyle\binom{n}{m}\), que se lee “\(n\) sobre \(m\)”, de la siguiente manera:

\[\binom{n}{m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}\]

Por ejemplo, \(\displaystyle \binom{9}{5}=\dfrac{9!}{5!\cdot4!}=\dfrac{9\cdot8\cdot7\cdot6}{4\cdot3\cdot2}=126\).

El número combinatorio \(\displaystyle\binom{n}{m}\) indica el número total de combinaciones que se pueden hacer con \(n\) elementos tomándolos de \(m\) en \(m\). Una combinación de \(n\) elementos tomados de \(m\) en \(m\) es una muestra o agrupación de \(m\) de los \(n\) elementos donde no importa el orden en que se tomen los \(m\) elementos. Por ejemplo, si tenemos seis pinturas de colores (digamos blanco, amarillo, azul, rojo, naranja y verde), una combinación de tres colores es, por ejemplo, la mezcla formada por el amarillo, el azul y el rojo; combinación que es la misma que la formada por los colores rojo, amarillo y azul, pues ambas dan lugar a la misma mezcla. El total de mezclas o combinaciones que podemos hacer con estos seis colores tomándolos de tres en tres es \(\displaystyle\binom{6}{3}=\frac{6!}{3!\cdot3!}=\frac{6\cdot5\cdot4}{3\cdot2}=20\).

Cuándo sí que importa el orden en que se tomen los elementos, dos muestras o agrupaciones con los mismos elementos son distintas. En este caso las muestras reciben el nombre de variaciones. Un ejemplo es tomar los dígitos del conjunto \(\{1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6\}\) y formar todos los números posibles de tres cifras con los dígitos anteriores. Claramente el número \(245\) es distinto del número \(452\) (son dos agrupaciones distintas, dependiendo del orden en que se tomen los mismos elementos). El número total de variaciones de \(n\) elementos tomados de \(m\) en \(m\) se escribe \(V_{n,\,m}\) y también tiene una fórmula. Es la siguiente

\[V_{n,\,m}=n(n-1)(n-2)\cdots(n-m+1)\]

Así el total de números de tres cifras que se pueden formar con los dígitos del conjunto \(\{1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6\}\) es \(V_{6,\,3}=6\cdot5\cdot4=120\).

Propiedades de los números combinatorios

a) \(\displaystyle\binom{n}{0}=1\quad\text{;}\quad\binom{n}{n}=1\)

b) \(\displaystyle\binom{n}{m}=\binom{n}{n-m}\)

c) \(\displaystyle\binom{n}{m-1}+\binom{n}{m}=\binom{n+1}{m}\)

Demostración

Demostración

a) \(\displaystyle\binom{n}{0}=\frac{n!}{0!(n-0)!}=\frac{n!}{n!}=1\quad\text{;}\quad\binom{n}{n}=\frac{n!}{n!(n-n)!}=\frac{n!}{n!}=1\)

b) \(\displaystyle {n\choose n-m}=\frac{n!}{(n-m)![n-(n-m)]!}=\frac{n!}{(n-m)!(n-n+m)!}=\)

\(\displaystyle=\frac{n!}{(n-m)!m!}=\frac{n!}{m!(n-m)!}={n\choose m}\)

c) \(\displaystyle\binom{n}{m-1}+\binom{n}{m}=\frac{n!}{(m-1)!(n-m+1)!}+\frac{n!}{m!(n-m)!}=\)

\(\displaystyle\frac{n!}{(n-m)!(m-1)!}\left(\frac{1}{n-m+1}+\frac{1}{m}\right)=\frac{n!}{(n-m)!(m-1)!}\cdot\frac{n+1}{(n-m+1)m}=\)

\(\displaystyle=\frac{(n+1)!}{m!(n-m+1)!}=\binom{n+1}{m}\)

Usando las propiedades anteriores no es difícil hallar todos los números combinatorios en función de los primeros. Observemos el siguiente “triángulo de números”:

\[\begin{matrix}  &  &  &  &  & 1 &  &  &  &  \\  &  &  &  & 1 &  & 1 &  &  &  \\  &  &  & 1 &  & 2 &  & 1 &  &  \\  &  & 1 &  & 3 &  & 3 &  & 1 &  \\  &  1 &  & 4 &  & 6 &  & 4 &  & 1 \\ 1 &  & 5 &  & 10 &  & 10 &  & 5 & & 1 \end{matrix}\]

Este triángulo expresa, en filas, todos los números combinatorios. Comenzando por \(n=0\), el primer número combinatorio (el vértice del triángulo) es \(\displaystyle\binom{0}{0}=1\). Para \(n=1\) tenemos otros dos números combinatorios (los de la segunda fila), que son \(\displaystyle\binom{1}{0}=1\) y \(\displaystyle\binom{1}{1}=1\). Si \(n=2\) aparecen los números combinatorios de la tercera fila: \(\displaystyle\binom{2}{0}=1\), \(\displaystyle\binom{2}{1}=2\) y \(\displaystyle\binom{2}{2}=1\). Y así sucesivamente.

La primera propiedad anterior es la responsable de que el primer y el último número de cada fila sea igual a \(1\). La segunda se encarga de que los números combinatorios del triángulo que en cada fila son equidistantes, sean iguales. Y la tercera propiedad se encarga de construir cada fila a partir de la anterior. Ya sabemos que cada fila comienza y acaba en \(1\). La propiedad nos dice que cada uno de los demás números de la fila es justamente la suma de los dos que tiene exactamente por encima. Por tanto construir el triángulo es muy sencillo. Este triángulo se conoce con el nombre de triángulo de Pascal o triángulo de Tartaglia.

El triángulo de Pascal está íntimamente ligado a la potencia de un binomio: \((a+b)^n\), o binomio de Newton. Y es que los coeficientes del desarrollo del binomio son exactamente los números que se encuentran en la línea \(n+1\) del triángulo de Pascal.

\[(a+b)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^{n-k}b^k\,,\forall n,\,k\in\mathbb{N}\,;\,0\leqslant n\leqslant k\]

Por cierto, si en la fórmula anterior \(a=b=1\) tenemos

\[2^n=(1+1)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}1^{n-k}1^k=\binom{n}{0}+\binom{n}{1}+\binom{n}{2}+\ldots+\binom{n}{n-1}+\binom{n}{n}\]

La anterior fórmula lo que nos viene a decir es que un conjunto de \(n\) elementos tiene un total de \(2^n\) subconjuntos: subconjuntos que no tienen elementos (el vacío), más subconjuntos con un elemento, más subconjuntos con dos elementos, etcétera. El conjunto formado por los subconjuntos de un conjunto \(A\) se llama conjunto de las partes de \(A\) y se denota por \(\mathcal{P}(A)\). Así el conjunto de las partes del conjunto \(A=\{1\,,\,2\,,\,3\}\) es

\[\mathcal{P}(A)=\{\varnothing\,,\,\{1\}\,,\,\{2\}\,,\,\{3\}\,,\,\{1\,,\,2\}\,,\,\{1\,,\,3\}\,,\,\{2\,,\,3\}\,,\,\{1\,,\,2\,,\,3\}\}\]

que, como se puede apreciar, tiene \(2^3=8\) elementos.

Una última e interesante propiedad relacionada con los números combinatorios

\[\binom{n}{k}\frac{1}{n^k}=\frac{1}{k!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}{n}\right)\]

Demostración

Demostración

\[\binom{n}{k}\frac{1}{n^k}=\frac{n!}{(n-k)!k!}\frac{1}{n^k}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{k!}\frac{1}{n^k}=\]

\[=\frac{1}{k!}\frac{(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{n^{k-1}}=\frac{1}{k!}\frac{n-1}{n}\frac{n-2}{n}\cdots\frac{n-k+1}{n}=\]

\[=\frac{1}{k!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}{n}\right)\]

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