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El principio de inducción

Uno de los resultados más importantes en matemáticas para demostrar ciertas afirmaciones en las que intervienen números naturales es el principio de inducción.

El principio de inducción consiste en demostrar que un conjunto de números naturales es inductivo, es decir, que el número \(1\) pertenece al conjunto y que, si un número natural \(n\) cualquiera pertenece al conjunto, entonces el siguiente, \(n+1\), también pertenece al conjunto.

Es decir, un conjunto \(A\) de números naturales es inductivo si verifica que:

  • \(1\in\mathbb{N}\)
  • \(n\in\mathbb{N}\Rightarrow n+1\in\mathbb{N}\)

El principio de inducción dice que el conjunto \(\mathbb{N}\) de los números naturales es el conjunto inductivo “más pequeño” que hay. Es decir, que si \(A\) es un conjunto inductivo de número reales contenido en \(\mathbb{N}\), entonces \(A=\mathbb{N}\) (en efecto, por ser \(A\) inductivo se tiene \(\mathbb{N}\subset A\), luego \(A=\mathbb{N}\)).

Ejemplo.

Demostrar, utilizando el principio de inducción, que:

\[1^3+2^3+3^3+\ldots+n^3=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2\ ,\ \forall\,n\in\mathbb{N}\]

Resolución.

En este caso el problema consiste en demostrar que el conjunto

\[A=\left\{n\in\mathbb{N}\ :\ 1^3+2^3+3^3+\ldots+n^3=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2\right\}\]

es inductivo, es decir, \(A=\mathbb{N}\), con lo que la igualdad pedida se cumplirá para todo número natural.

Comprobemos que el resultado es cierto para \(n=1\).

Por un lado \(1^3=1\).

Por otro: \(\displaystyle\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2=\left(\frac{1(1+1)}{2}\right)^2=\left(\frac{1\cdot2}{2}\right)^2=\left(\frac{2}{2}\right)^2=1^2=1\).

También se puede comprobar que el resultado es cierto para \(n=2\).

Por un lado: \(1^3+2^3=1+8=9\).

Por otro: \(\displaystyle\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2=\left(\frac{2(2+1)}{2}\right)^2=\left(\frac{2\cdot3}{2}\right)^2=\left(\frac{6}{2}\right)^2=3^2=9\).

De la misma manera se podría comprobar que el resultado es cierto para \(n=3\), \(n=4\), etcétera.

Entonces, la resolución quedaría terminada demostrando que si se supone el resultado cierto para \(n\), también lo es para \(n+1\).

Supongamos pues que es cierto para \(n\), es decir, que es cierto que

\[1^3+2^3+3^3+\ldots+n^3=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2\quad(1)\]

La anterior es la llamada hipótesis de inducción.

Tenemos que demostrar, a partir de la certeza de la igualdad anterior, que el resultado es cierto para \(n+1\), es decir que

\[1^3+2^3+3^3+\ldots+n^3+(n+1)^3=\left(\frac{(n+1)(n+2)}{2}\right)^2\quad(2)\]

Obsérvese que la igualdad \((2)\) es la igualdad \((1)\) sustituyendo \(n\) por \(n+1\).

Veámoslo. Para ello empezaremos por la parte de la izquierda de la igualdad \((2)\) y, utilizando la hipótesis de inducción, intentaremos llegar a la parte de la derecha de la igualdad.

\[1^3+2^3+3^3+\ldots+n^3+(n+1)^3=\left(1^3+2^3+3^3+\ldots+n^3\right)+(n+1)^3=\]

\[=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2+(n+1)^3=\ (\ast)\]

Obsérvese cómo se ha utilizado la hipótesis de inducción, en la que se supone el resultado cierto para \(n\). A continuación desarrollaremos los paréntesis, teniendo en cuenta las propiedades de las potencias y la igualdades notables.

\[(\ast)\ =\frac{n^2(n+1)^2}{2^2}+(n+1)^3=\frac{n^2(n^2+2n+1)}{4}+n^3+3n^2+3n+1=\]

\[=\frac{n^4+2n^3+n^2}{4}+n^3+3n^2+3n+1=\frac{n^4+2n^3+n^2}{4}+\frac{4n^3+12n^2+12n+4}{4}=\]

\[=\frac{n^4+6n^3+13n^2+12n+4}{4}=\ (\ast\ast)\]

Ahora, en esta última expresión, factorizando el polinomio del numerador (utilícese para ello la regla de Ruffini), damos el siguiente paso y prácticamente finalizamos.

\[(\ast\ast)\ =\frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}=\left(\frac{(n+1)(n+2)}{2}\right)^2\]

¡Y ya hemos obtenido lo que queríamos demostrar!

Si quieres puedes ver aquí lo que dice la Wikipedia sobre la inducción matemática.

Te propongo, además, que pruebes las siguientes afirmaciones.

a) \(1+1+2+2^2+2^3+\ldots+2^n=2^{n+1}\ ,\ \forall\,n\in\mathbb{N}\)

b) \(1+3+5+\ldots+(2n-1)=n^2\ ,\ \forall\,n\in\mathbb{N}\)

c) \(n!\geqslant 2^{n-1}\ ,\ \forall\,n\in\mathbb{N}\)

La solución aquí

La solución aquí

Para \(n=1\) la desigualdad se cumple obviamente: \(1!=1\geqslant 2^{1-1}=2^0=1\)

Supongamos la desigualdad cierta para \(n\) y demostrémosla para \(n+1\).

\[(n+1)!=(n+1)n!\geqslant(n+1)2^{n-1}=\frac{n+1}{2}2^n\geqslant2^n=2^{(n+1)-1}\]

Obsérvese que en el segundo paso hemos utilizado la hipótesis de inducción. Entonces, por el principio de inducción la desigualdad que deseábamos demostrar es cierta.

d) \(\displaystyle 1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\ ,\ \forall\,n\in\mathbb{N}\)

e) \(\displaystyle 1\cdot2+2\cdot3+3\cdot4+\ldots+n\cdot(n+1)=\frac{n(n+1)(n+3)}{3}\ ,\ \forall\,n\in\mathbb{N}\)

f) \(\displaystyle \frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+\ldots+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n}{n+1}\ ,\ \forall\,n\in\mathbb{N}\)

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