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El número \(e\) como límite de una función muy particular.

El número \(e\) como límite de una determinada función

Pretendemos demostrar en este artículo que el límite de la función \(\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x\) cuando \(x\rightarrow+\infty\) es el número \(e\). Obsérvese que la función anterior no está definida en el intervalo \([-1,\,0]\) (pues en estos casos la base es negativa y nos limitamos al estudio de funciones del tipo \(f(x)^{g(x)}\) con \(f(x)\) positivo). Además, cuando \(x\rightarrow+\infty\) tenemos

\[\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\rightarrow\left(1+\frac{1}{+\infty}\right)^{+\infty}=1^{+\infty}\]

que es una de la indeterminaciones que aparecen en el cálculo de límites (hemos utilizado que \(x\rightarrow\infty\Rightarrow1/x\rightarrow0\)).

Aprovechemos este momento para comentar también que, cuando \(x\rightarrow0^+\), entonces

\[\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\rightarrow\left(1+\frac{1}{0^+}\right)^0=+\infty^0\]

que es otra indeterminación (hemos usado que \(x\rightarrow0^+\Rightarrow1/x\rightarrow+\infty\)).

En la demostración que vamos a hacer se verá que si se sustituye \(+\infty\) por \(-\infty\) el límite sigue siendo el número \(e\):

\[\lim_{x\rightarrow-\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e\]

La idea consiste en tomar una sucesión \(\{x_n\}\) de número reales divergente (es decir, una sucesión cuyos términos tienden a \(+\infty\) o a \(-\infty\)) y demostrar que el límite de la sucesión \(\left\{\left(1+\dfrac{1}{x_n} \right )^{x_n}\right\}\) es igual al número \(e\). Formalizemos esta idea.

Proposición

Sea \(\{x_n\}\) una sucesión divergente de números reales. Podemos suponer sin perder generalidad que \(x_n\notin[-1,\,0],\,\forall\,n\in\mathbb{N}\), con lo que \(1+\dfrac{1}{x_n}\) es siempre un número real positivo para todo \(n\in\mathbb{N}\). Entonces

\[\left\{\left(1+\dfrac{1}{x_n}\right)^{x_n}\right\}\rightarrow e\]

Demostración

Comenzaremos probando el caso particular en que \(x_n=n,\,\forall\,n\in\mathbb{N}\), esto es, demostraremos que

\[\left\{\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n\right\}\rightarrow e\]

La demostración aquí

La demostración aquí

Usando la fórmula de la potencia de un binomio (binomio de Newton) se tiene, para todo natural \(n\), que

\[\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=\binom{n}{0}1^n\frac{1}{n^0}+\binom{n}{1}1^{n-1}\frac{1}{n^1}+\binom{n}{2}1^{n-2}\frac{1}{n^2}+\ldots+\binom{n}{n}1^0\frac{1}{n^n}=\]

\[=1+n\frac{1}{n}+\binom{n}{2}\frac{1}{n^2}+\binom{n}{3}\frac{1}{n^3}+\ldots+\binom{n}{n}\frac{1}{n^n}=(\bigstar)\]

En un artículo dedicado a los números combinatorios aparece, al final del mismo (con su demostración), una propiedad según la cual

\[\binom{n}{k}\frac{1}{n^k}=\frac{1}{k!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}{n}\right)\]

Usando esta propiedad podemos simplificar la igualdad \((\bigstar)\) obteniendo finalmente:

\[(a+b)^n=1+1+\frac{1}{2!}\left(1-\frac{1}{n}\right)+\frac{1}{3!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)+\ldots\]

\[\ldots+\frac{1}{n!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{n-1}{n}\right)\quad(\bigstar\bigstar)\]

Teniendo en cuenta la anterior igualdad es claro que la sucesión \(\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n\) es creciente y que:

\[\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\leqslant1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\ldots+\frac{1}{n!}\leqslant e\,,\,\forall\,n\in\mathbb{N}\]

Para ello hemos usado que

\[\left(1-\dfrac{1}{n}\right)\left(1-\dfrac{2}{n}\right)\cdots\left(1-\dfrac{k-1}{n}\right)\leqslant1\,,\forall\, k=1,\,2,\ldots,\,n\]

pues todos los factores menores o iguales que \(1\).

También hemos usado que, fijando \(n\in\mathbb{N}\) tenemos:

\[1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\ldots+\frac{1}{n!}\leqslant e\]

ya que la sucesión \(\{x_n\}=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\ldots+\frac{1}{n!}\) tiene como límite el número \(e\) (esto lo puedes consultar el artículo “descubiendo el número \(e\)“).

Hemos demostrado pues que la sucesión \(\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n\) tiene límite (ya que es creciente y todos sus términos están acotados por el número \(e\)). Además por la misma razón, su límite, \(l\), verifica \(l\leqslant e\).

Aplicando también la igualdad \((\bigstar\bigstar)\) se tiene que si \(n\), \(p\) son números naturales cualesquiera,

\[\left(1+\frac{1}{n+p}\right)^{n+p}\geqslant1+1+\frac{1}{2!}\left(1-\frac{1}{n}\right)+\ldots\]

\[\ldots+\frac{1}{p!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{p-1}{n}\right)\]

Para \(p\) fijo, la sucesión \(\left\{\left(1+\dfrac{1}{n+p}\right)^{n+p}\right\}\) converge a \(l\) (es la misma que la sucesión \(\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n\) sólo que le faltan los primeros términos; en el paso al límite éste, si existe, ha de ser el mismo). La sucesión que tiene por término \(n\)-ésimo la expresión que aparece en el segundo miembro de la desigualdad anterior tiene como límite

\[1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\ldots+\frac{1}{p!}\]

Se tiene por tanto

\[l\geqslant1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\ldots+\frac{1}{p!}\,,\,\forall\,p\in\mathbb{N}\]

lo que imjplica que \(l\geqslant e\). Como antes habíamos demostrado que \(l \leqslant e\), tenemos por tanto que \(l=e\), tal y como queríamos.

Bien, hemos sudado un poco, pero ya hemos demostrado que, efectivamente, \(\left\{\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n\right\}\rightarrow e\). De aquí, y haciendo uso de que la sucesión \(\left\{\dfrac{1}{n}\right\}\) tiene límite igual a \(0\), se deduce que

\[\left\{\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n+1}\right\}=\left\{\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n\left(1+\frac{1}{n}\right)\right\}\rightarrow e\]

También se deduce que

\[\left\{\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^n\right\}=\left\{\left[\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}\right]^{\displaystyle\frac{n}{n+1}}\right\}\rightarrow e\]

Hemos utilizado que el límite de la sucesión \(\left\{\dfrac{n}{n+1}\right\}\) es igual a \(1\).

Las dos afirmaciones anteriores las vamos a escribir, equivalentemente, de otra manera. Si tomamos un número real cualquiera \(\varepsilon>0\), por pequeño que sea, podemos escribir todos los términos de las dos sucesiones anteriores a partir de uno de ellos, entre \(e-\varepsilon\) y \(e+\varepsilon\). O sea que existe \(m\in\mathbb{N}\) tal que si \(n\geqslant m\), entonces:

\[e-\varepsilon<\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}<e+\varepsilon\quad(1)\]

\[e-\varepsilon<\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^n<e+\varepsilon\quad(2)\]

Vamos a demostrar ahora que dada una sucesión \(\{x_n\}\) de número reales que tienda a \(+\infty\), entonces la sucesión \(\left\{\left(1+\dfrac{1}{x_n}\right)^{x_n}\right\}\) tiene como límite el número \(e\). Para ello haremos uso de las expresiones \((1)\) y \((2)\) anteriores y, para cada \(\varepsilon>0\), del número natural \(m\) para el que se cumplen.

La demostración aquí

La demostración aquí

Supongamos que \(\{x_n\}\rightarrow+\infty\), y sea \(\{k_n\}=\{\text{E}(x_n)\}\) (la sucesión parte entera de la sucesión \(\{x_n\}\)). Claramente \(\{k_n\}\rightarrow+\infty\). Pongamos esto de otra manera. Que la sucesión \(\{k_n\}\) tienda a más infinito quiere decir que todos los términos de la sucesión a partir de uno ellos es mayor o igual que \(m\), donde \(m\) es el natural con el que hemos estado trabajando anteriormente. Es decir

\[\exists\,p\in\mathbb{N}\,:\,n\geqslant p\Rightarrow k_n\geqslant m\]

Además como \(k_n\) es un número natural, para \(n\geqslant p\), se cumplen en particular \((1)\) y \((2)\), con lo cual

\[e-\varepsilon<\left(1+\frac{1}{k_n}\right)^{k_n+1}<e+\varepsilon\]

\[e-\varepsilon<\left(1+\frac{1}{k_n+1}\right)^{k_n}<e+\varepsilon\]

Por otra parte se tiene para \(n\geqslant p\) que el natural \(k_n\) verifica \(k_n\leqslant x_n<k_n+1\) (esta es una de las propiedades de la parte entera de un número real), y de aquí es fácil deducir que \(1+\dfrac{1}{k_n+1}<1+\dfrac{1}{x_n}\leqslant1+\dfrac{1}{k_n}\), y de aquí también que

\[\left(1+\dfrac{1}{k_n+1}\right)^{k_n}<\left(1+\dfrac{1}{x_n}\right)^{x_n}<\left(1+\dfrac{1}{k_n}\right)^{k_n+1}\]

Enlazando la doble desigualdad anterior de manera conveniente con las anteriores desigualdades \((1)\) y \((2)\), obtenemos:

\[n\geqslant p\Rightarrow e-\varepsilon<\left(1+\frac{1}{x_n}\right)^{x_n}<e+\varepsilon\]

lo que demuestra lo que queríamos, es decir, que \(\left\{\left(1+\dfrac{1}{x_n}\right)^{x_n}\right\}\rightarrow\text{e}\) cuando \(\{x_n\}\rightarrow+\infty\).

Para finalizar vamos a comprobar exactamente lo anterior cuando la sucesión tiende a “menos infinito”, es decir, que si \(\{x_n\}\rightarrow-\infty\), entonces también \(\left\{\left(1+\dfrac{1}{x_n}\right)^{x_n}\right\}\rightarrow e\). Para ello bastará hacer un cambio de variable.

La demostración aquí

La demostración aquí

Supongamos que \(\{x_n\}\rightarrow-\infty\) y sea \(y_n=-x_n-1,\,\forall\,n\in\mathbb{N}\) (obsérvese que claramente \(\{y_n\}\rightarrow+\infty\)). Es prácticamente inmediato comprobar que (¡hazlo, inténtalo!)

\[\left(1+\frac{1}{x_n}\right)^{x_n}=\left(1+\frac{1}{y_n}\right)^{y_n}\left(1+\frac{1}{y_n}\right)\,,\,\forall\,n\in\mathbb{N}\]

Lo anterior, junto con el hecho de que \(\left\{\left(1+\dfrac{1}{y_n}\right)^{y_n}\right\}\rightarrow e\) (recuérdese que \(\{y_n\}\rightarrow+\infty\)), implica que

\[\left\{\left(1+\dfrac{1}{x_n}\right)^{x_n}\right\}\rightarrow e\]

tal y como queríamos demostrar.

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES “Fernando de Mena” de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

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