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El número e es el límite de una determinada sucesión.

Descubriendo el número \(e\)

Antes de leer este artículo, en el que vamos a demostrar la existencia de un número irracional como límite de una determinada sucesión (el número \(e\)), se recomienda hacer una lectura atenta de este otro: “Sucesiones de números reales. Sucesiones convergentes: límite de una sucesión”.

Proposición

Consideremos la sucesión \(\{x_n\}\) de números reales definida por:

\[x_n=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\ldots+\frac{1}{n!}\,,\,\forall\,n\in\mathbb{N}\]

a)  \(\{x_n\}\) es convergente (es decir, tiene límite real). Su límite es por definición el número real \(e\).

b)  \(0<e-x_p\leqslant\dfrac{1}{p!p}\,,\,\forall\,p\in\mathbb{N}\).

c)  \(e\) es irracional.

Demostración:

a) Evidentemente \(\{x_n\}\) es creciente (si \(n,\,m\,\in\mathbb{N}\) con \(n\leqslant m\), entonces \(x_n\leqslant x_m\)). Además

\[x_n=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\ldots+\frac{1}{n!}\leqslant1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\ldots+\frac{1}{2^{n-1}}=1+1+1-\frac{1}{2^{n-1}}<3\qquad(1)\]

Hemos utilizado que la expresión

\[S=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\ldots+\frac{1}{2^{n-1}}\]

es la suma de los \(n-1\) primeros términos de la progresión geométrica \(\left\{\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\right\}=\left\{\dfrac{1}{2^n }\right\}\). Por tanto:

\[S=\frac{\frac{1}{2^{n-1}}\cdot\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}-1}=\frac{\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2^{n-1}}-1 \right )}{-\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{2^{n-1}}\]

También se ha hecho uso de la desigualdad \(k!\geqslant 2^{k-1},\,\forall\,k\in\mathbb{N}\), que se demuestra fácilmente por inducción (ver ejercicio resuelto c) al final de este artículo dedicado al principio de inducción).

Por tanto \(\{x_n\}\) es convergente por tratarse de una sucesión creciente y mayorada (tiene una cota superior: el número \(3\)).

La desigualdad \((1)\) implica que

\[|x_{n+1}-x_n|\leqslant\frac{1}{2^n},\,\forall\,n\in\mathbb{N}\]

lo que prueba también que \({x_n}\) es covergente pues la diferencia de dos términos consecutivos cualesquiera de la sucesión es menor o igual que \(\dfrac{1}{2^n}\), sucesión cuyo límite es cero (la demostración general de este hecho la puedes ver en el siguiente artículo: Sucesiones de Cauchy. Teorema de complitud de \(\mathbb{R}\)).

b) Para \(p\in\mathbb{N}\), \(n\in\mathbb{N}\), se tiene

\[0\leqslant x_{n+p}-x_p=\frac{1}{(p+1)!}+\frac{1}{(p+2)!}+\ldots+\frac{1}{(p+n)!}=\]

\[=\frac{1}{p!}\left(\frac{1}{p+1}+\frac{1}{(p+1)(p+2)}+\ldots+\frac{1}{(p+1)(p+2)\cdots(p+n)}\right)\leqslant\]

\[\leqslant\frac{1}{p!}\left(\frac{1}{p+1}+\frac{1}{(p+1)^2}+\ldots+\frac{1}{(p+1)^n}\right)=\]

\[=\frac{1}{p!}\frac{\displaystyle\frac{1}{(p+1)^{n+1}}-\frac{1}{p+1}}{\displaystyle\frac{1}{p+1}-1}=\frac{1}{p!p}\left(1-\frac{1}{(p+1)^n}\right)<\frac{1}{p!p}\]

de donde, como para \(p\) fijo, la sucesión \(\{x_{n+p}\}\) converge al número \(e\), tenemos \(0\leqslant \text{e}-x_p\leqslant\dfrac{1}{p!p},\,\forall\,p\in\mathbb{N}\). Además, por ser \(x_p<x_{p+1}\leqslant \text{e}\), la primera de las desigualdades es estricta. Por cierto, es claro que si el límite de \(\{x_n\}\) es el número \(e\), también lo será de la sucesión \(\{x_{n+p}\}\), pues para \(p\) fijo solamente prescindimos de algunos términos iniciales de la sucesión \(\{x_n\}\).

Obsérvese también que para demostrar este apartado se ha utilizado que \(\left\{\dfrac{1}{(p+1)^n}\right\}\) es una progresión geométrica de razón \(\dfrac{1}{p+1}\) y, por tanto, la suma \(\dfrac{1}{p+1}+\dfrac{1}{(p+1)^2}+\ldots+\dfrac{1}{(p+1)^n}\) de los \(n\) primeros términos es

\[\displaystyle \frac{\displaystyle\frac{1}{(p+1)^{n+1}}-\frac{1}{p+1}}{\displaystyle\frac{1}{p+1}-1}\]

La demostración de la igualdad

\[\frac{\displaystyle\frac{1}{(p+1)^{n+1}}-\frac{1}{p+1}}{\displaystyle\frac{1}{p+1}-1}=\frac{1}{p}\left(1-\frac{1}{(p+1)^n}\right)\]

la dejamos para el lector (¡es muy fácil!).

c) Supongamos que \(e\) fuese racional y pongamos \(e=\dfrac{m}{n}\) con \(m\) y \(n\) naturales y \(n>1\). Entonces, tomando \(p=n\) en el apartado b) tenemos

\[0<\frac{m}{n}-x_n\leqslant\frac{1}{n!n}\]

de donde, multiplicando todos los miembros de la desigualdad por \(n!\)

\[0<m(n-1)!-x_nn!\leqslant\frac{1}{n}<1\]

lo cual es absurdo, ya que \(m(n-1)!-x_nn!\) es un número entero.

Como de la suposición de que \(e\) es un número racional obtenemos una contradicción, la suposición ha de ser falsa y, entonces, \(e\) es irracional (ver demostración por reducción al absurdo).

Bien, ya hemos demostrado lo que queríamos. Obsérvese que la parte b) de la proposición permite obtener tantas cifras del número \(e\) como se desee. Por ejemplo, tomando \(p=12\), se obtiene fácilmente que

\[2,718281\leqslant e<2,718282\]

y por tanto podemos escribir \(e=2,718281\ldots\).

Aquí tienes también lo que dice la Wikipedia sobre el número \(e\).

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