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Un límite del tipo infinito partido por infinito.

Cálculo de límites. La indeterminación “infinito partido por infinito”

En un artículo anterior dedicado al cálculo de límites se hablaba de la indeterminación “cero partido por cero”. Este artículo se dedica a la resolución de la indeterminación “infinito partido por infinito”, \(\dfrac{\infty}{\infty}\). Esta indeterminación aparece cuando intentamos calcular un límite en el infinito (es decir cuando \(x\rightarrow\infty\)) de una función de la forma \(\dfrac{f(x)}{g(x)}\), en la que \(f(x)\rightarrow\infty\) y también \(g(x)\rightarrow\infty\).

Para verlo con más claridad abordaremos el caso más sencillo, que consiste en calcular el límite, cuando \(x\) tiende a infinito de una función racional, es decir, de un cociente de dos polinomios. Así pues supongamos que tenemos dos polinomios \(p(x)\) y \(q(x)\) y queremos calcular el límite siguiente:

\[\lim_{x\to\infty}\frac{p(x)}{q(x)}\]

Es conocido por todos que el límite cuando \(x\) tiende a infinito de un polinomio es también infinito. Por tanto al intentar calcular el límite anterior aparece la indeterminación \(\dfrac{\infty}{\infty}\). La técnica a seguir para resolverla consistirá en dividir numerador y denominador (o lo que es lo mismo, todos los términos de ambos polinomios), entre la indeterminada \(x\) elevada al mayor de los grados que encontremos. Veamos algunos ejemplos.

  • Ejemplo 1

Calcular \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{-3x^3+2x^2-x+1}{5x^2-4x+3}\).

Como se puede observar, el mayor grado al que está elevada la \(x\) es \(3\). Así pues, dividiremos todos los términos entre \(x^3\).

\[\lim_{x\to-\infty}\frac{-3x^3+2x^2-x+1}{5x^2-4x+3}=\lim_{x\to-\infty}\frac{\displaystyle\frac{-3x^3}{x^3}+\frac{2x^2}{x^3}-\frac{x}{x^3}+\frac{1}{x^3}}{\displaystyle\frac{5x^2}{x^3}-\frac{4x}{x^3}+\frac{3}{x^3}}=\]

\[=\lim_{x\to-\infty}\frac{\displaystyle-3+\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}}{\displaystyle\frac{5}{x}-\frac{4}{x^2}+\frac{4}{x^3}}=\frac{-3+0-0+0}{0-0+0}=\frac{-3}{0}=+\infty\]

Obsérvese que, en el ejemplo anterior, se ha utilizado la regla general según la cual, si \(k\in\mathbb{R}\), entonces \(\dfrac{k}{\infty}=0\).

Además, todo el mundo se preguntará, ¿por qué el resultado es \(+\infty\) y no \(-\infty\)? Bueno, los monomios predominantes de un polinomio o aquellos que marcan la tendencia cuando \(x\rightarrow\pm\infty\) son los de mayor grado. Por tanto, en este caso bastaría estudiar la tendencia de la fracción \(\dfrac{-3x^3}{5x^2}=\dfrac{-3x}{5}\) cuando \(x\rightarrow-\infty\), que es claramente \(+\infty\). De hecho se utiliza también este método para resolver el límite anterior de una forma mucho más rápida.

\[\lim_{x\to-\infty}\frac{-3x^3+2x^2-x+1}{5x^2-4x+3}=\lim_{x\to-\infty}\frac{-3x^3}{5x^2}=\frac{-3x}{5}=+\infty\]

  • Ejemplo 2

Calcular \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{7x^4-4x^2+3}{-x^4+9x-5}\).

Dividiremos ahora todos los términos entre \(x^4\).

\[\lim_{x\to+\infty}\frac{7x^4-4x^2+3}{-x^4+9x-5}=\lim_{x\to+\infty}\frac{\displaystyle\frac{7x^4}{x^4}-\frac{4x^2}{x^4}+\frac{3}{x^4}}{\displaystyle\frac{-x^4}{x^4}+\frac{9x}{x^4}-\frac{5}{x^4}}=\]

\[=\lim_{x\to+\infty}\frac{\displaystyle7-\frac{4}{x^2}+\frac{3}{x^4}}{\displaystyle-1+\frac{9}{x^3}-\frac{5}{x^4}}=\lim_{x\to+\infty}\frac{7-0+0}{-1+0-0}=\frac{7}{-1}=-7\]

Si para calcular el límite utilizamos la forma abreviada explicada anteriormente tendríamos:

\[\lim_{x\to+\infty}\frac{7x^4-4x^2+3}{-x^4+9x-5}=\lim_{x\to+\infty}\frac{7x^4}{-x^4}=-7\]

  • Ejemplo 3

Calcular \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{5x^2+3x-6}{2x^4-4x^3-x+1}\).

Volvemos a dividir entre \(x^4\).

\[\lim_{x\to+\infty}\frac{5x^2+3x-6}{2x^4-4x^3-x+1}=\lim_{x\to+\infty}\frac{\displaystyle\frac{5x^2}{x^4}+\frac{3x}{x^4}-\frac{6}{x^4}}{\displaystyle\frac{2x^4}{x^4}-\frac{4x^3}{x^4}-\frac{x}{x^4}+\frac{1}{x^4}}=\]

\[=\lim_{x\to+\infty}\frac{\displaystyle\frac{5}{x^2}+\frac{3}{x^3}-\frac{6}{x^4}}{\displaystyle2-\frac{4}{x}-\frac{1}{x^3}+\frac{1}{x^4}}=\frac{0+0-0}{2-0-0+0}=\frac{0}{2}=0\]

Si utilizamos la forma abreviada tendremos igualmente:

\[\lim_{x\to+\infty}\frac{5x^2+3x-6}{2x^4-4x^3-x+1}=\lim_{x\to+\infty}\frac{5x^2}{2x^4}=\lim_{x\to+\infty}\frac{5}{2x^2}=\frac{5}{+\infty}=0\]

Hay una regla general para calcular límites del tipo anterior. Es fácil darse cuenta por los ejemplos anteriores que el límite de una función racional cuando \(x\rightarrow\pm\infty\), depende de los grados de los polinomios del numerador y del denominador. En efecto, si el grado del de arriba es mayor que el grado del de abajo el límite es \(\pm\infty\) (para saber el signo se estudia el signo del cociente de los monomios de mayor grado, tal y como se ha visto tras el ejemplo 1), si los grados son iguales el límite es el cociente de los coeficientes de los monomios de mayor grado (también llamados coeficientes líderes) y, finalmente, si el grado del de arriba es menor que el grado del de abajo, el límite es cero.

Simbólicamente, sean dos polinomios

\[p(x)=a_mx^m+a_{m-1}x^{m-1}+\ldots+a_1x+a_0\]

\[q(x)=b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+\ldots+b_1x+b_0\]

de grados \(m\) y \(n\) respectivamente, entonces:

\[\lim_{x\to\pm\infty}\frac{p(x)}{q(x)}=\left\{\begin{matrix}\pm\infty & &\text{si} & m>n \\ \displaystyle\frac{a_m}{b_n}& &\text{si} &m=n \\ 0& &\text{si} &m<n \end{matrix}\right.\]

La regla anterior es válida incluso cuando aparecen polinomios bajo un radical, ya sea en el numerador o en el denominador. En estos casos el grado se divide entre el índice del radical, para obtener el grado del numerador o del denominador. Veamos otro par de ejemplos.

  • Ejemplo 4

Calcular \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\sqrt{2x^4-3x+1}}{3x^2-2x+1}\).

El grado de la expresión de arriba es igual a \(2\) (dividimos el grado del polinomio del interior de la raíz, que es \(4\), entre el índice de la raíz, que es \(2\)). El grado del polinomio de abajo también es dos. Por tanto, por la regla anterior, el límite es el cociente entre los coeficientes líderes, es decir:

\[\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{2x^4-3x+1}}{3x^2-2x+1}=\frac{\sqrt{2}}{3}\]

Obsérvese que si calculamos el límite quedándonos con los términos predominantes se obtiene el mismo resultado:

\[\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{2x^4-3x+1}}{3x^2-2x+1}=\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{2x^4}}{3x^2}=\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{2}x^2}{3x^2}=\frac{\sqrt{2}}{3}\]

  • Ejemplo 5

Calcular \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{3x^2-2x+1}{\sqrt{2x^4-1}+x^2}\).

Otra vez los grados del numerador y del denominador coinciden: ambos son iguales a dos. Pero hay que tener cuidado porque en el denominador hay dos monomios predominantes, \(\sqrt{2x^4}=\sqrt{2}x^2\) y \(x^2\), con lo que el coeficiente líder de la expresión del denominador será \(\sqrt{2}+1\). Por tanto:

\[\lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2-2x+1}{\sqrt{2x^4-1}+x^2}=\lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2}{\sqrt{2x^4}+x^2}=\lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2}{\sqrt{2}x^2+x^2}=\]

\[=\lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2}{\left(\sqrt{2}+1\right)x^2}=\frac{3}{\sqrt{2}+1}=\frac{3\left(\sqrt{2}-1\right)}{\left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}-1\right)}=\]

\[=\frac{3\left(\sqrt{2}-1\right)}{1}=3\left(\sqrt{2}-1\right)\]

Los límites de este tipo se pueden complicar todo lo que queramos, pero la idea básica es tener en cuenta cuáles son los términos predominantes del numerador y del denominador. Es posible que para ello tengamos que hacer, previamente, algunas operaciones algebraicas hasta simplificar adecuadamente. En cualquier caso, al final, será fácil aplicar la regla aquí mencionada para obtener el valor del límite que se pida, resolviendo así la indeterminación \(\dfrac{\infty}{\infty}\).

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES “Fernando de Mena” de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

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