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Distancia entre dos puntos accesibles entre los que media un obstáculo.

Usos de la trigonometría. Cálculo de alturas y distancias (I)

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Distancia entre dos puntos accesibles entre los que media un obstáculo

Supongamos que deseamos medir la distancia \(c\) desde \(A\) hasta \(B\), puntos entre los cuales media un obstáculo, tal y como se puede apreciar en la figura.

Distancia entre dos puntos accesibles entre los que media un obstáculo.

Para ello elegimos un punto \(C\) desde el cual se pueda medir la distancia hasta \(A\), que llamaremos \(b\); y la distancia hasta \(B\), que llamaremos \(a\). También mediremos el ángulo \(\widehat{ACB}\) que, para abreviar, lo llamaremos \(\gamma\).

Utilizando el teorema del coseno tenemos que

\[c^2=a^2+b^2-2ab\cos{\gamma}\]

  • Ejemplo

Un túnel \(\overline{AB}\) ha de atravesar una montaña. Para calcular su longitud se toman desde el punto \(C\) las siguientes medidas: \(\overline{AC}=1250\) m, \(\overline{BC}=1700\) m y \(\widehat{ACB}=132^\text{o}\). Hallar dicha longitud.

Solución

En este caso \(b=1250\), \(a=1700\) y \(\gamma=132^\text{o}\). Por tanto:

\[c^2=1700^2+1250^2-2\cdot1700\cdot1250\cdot\cos{132}^\text{o}\cong7296305.077\Rightarrow c\cong 2701,17\]

Por tanto la longitud del túnel es de, aproximadamente, 2701 metros.

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES "Fernando de Mena" de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

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