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Porcentajes

Porcentajes

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Un porcentaje o tanto por ciento, \(k\)% de una cantidad dada \(c\) es una parte \(a\) de dicha cantidad \(c\), que viene dada mediante la siguiente fórmula:

\[\frac{k\cdot c}{100}=a\qquad\qquad(1)\]

Así por ejemplo, el 35% de 6200 es \(\displaystyle\frac{35\cdot6200}{100}=\displaystyle\frac{217000}{100}=2170\).

Problemas con porcentajes

Ya hemos visto que en los porcentajes aparecen siempre tres cantidades relacionadas: el propio porcentaje o tanto por ciento, que hemos llamado \(k\), la cantidad total \(c\), y la parte \(a\) de dicha cantidad que se obtiene al aplicar el porcentaje.

Cualquiera de las tres cantidades anteriores se pueden calcular despejando de la fórmula \((1)\), si se conocen las otras dos. Veamos algunos ejemplos de problemas de este tipo donde aparecen porcentajes.

Ejemplo 1

Joaquín compra un abrigo en una tienda donde todos sus artículos están rebajados un 18%. ¿Qué cantidad le descontarán si el precio del abrigo es de 352 €?

Este problema es el más sencillo, pues se desconoce la parte \(a\) que se obtiene al aplicar el porcentaje. El tanto por ciento y la cantidad total son conocidas. Así pues:

\[a=\frac{18\cdot352}{100}=\frac{6336}{100}=63.36\,\text{€}\]

Ejemplo 2

Jaime compra un coche por 16000 € y le hacen un descuento de 1920 €. ¿Qué porcentaje le descuentan?

En este caso conocemos la cantidad total, 16000, y la parte resultante tras aplicar el porcentaje correspondiente, que es desconocido. Entonces:

\[\frac{k\cdot16000}{100}=1920\Rightarrow k=\frac{1920\cdot100}{16000}=12\]

Por tanto, a Jaime le descuentan un 12% en la compra del coche.

Ejemplo 3

Ana trabaja desde hace 10 años en una empresa, y ha cobrado 235 € en concepto de antigüedad, que es el 20% de su salario. ¿A cuánto asciende el salario de Ana?

Ahora conocemos la parte que corresponde a aplicar un 20% al salario de Ana, que son 235 €. Tenemos que calcular la cantidad total, es decir, el salario de Ana.

\[\frac{20\cdot c}{100}=235\Rightarrow c=\frac{235\cdot100}{20}=1175\]

Es decir, el salario de Ana es de 1175 €.

Aumentos y disminuciones porcentuales

Aumentar una cantidad \(c\) un \(k\)% equivale a calcular el \((100+k)\)% de dicha cantidad, es decir hemos de realizar la siguiente operación:

\[\frac{(100+k)\cdot c}{100}=a\]

Disminuir una cantidad \(c\) un \(k\)% equivale a calcular el \((100-k)\)% de dicha cantidad, es decir hemos de realizar la siguiente operación:

\[\frac{(100-k)\cdot c}{100}=a\]

En sendas formulas anteriores la cantidad \(a\) es la parte resultante tras hacer el aumento o la disminución porcentual.

Veamos otro par de ejemplos.

Ejemplo 4

Después de gastar el 15% del depósito de gasolina de un coche, quedan 42,5 litros. ¿Cuál es la capacidad total del depósito?

Desconocemos la cantidad total \(c\) de gasolina o capacidad total del depósito. Como se ha gastado el 15%, hemos de hacer una dismunición porcentual. Se conoce que la parte resultante tras realizar la disminución porcentual es de 42,5 litros. Así pues:

\[\frac{(100-15)\cdot c}{100}=42,5\Rightarrow c=\frac{42,5\cdot100}{85}=50\]

Por tanto la capacidad total del depósito es de 50 litros.

Ejemplo 5

La factura de la comida de dos viajantes en un restaurante ascendió a 47,7 €. Tal factura incluía un 6% de IVA. ¿Cuál sería el valor de la factura sin IVA?

Ahora también desconocemos la cantidad \(c\) a la que ascendía la factura sin IVA y a la que se a aplicado un aumento porcentual (el 6% de IVA). También sabemos que, tras realizar el aumento, la factura asciende a 47,7 €. Por tanto:

\[\frac{(100+6)\cdot c}{100}=47,7\Rightarrow c=\frac{47,7\cdot100}{106}=45\]

O sea, el valor de la factura sin IVA era de 45 €.

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