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El conjunto de los números enteros.

La construcción de los números enteros

En la materia de matemáticas de Educación Secundaria Obligatoria los números naturales, naturalmente, no se definen sino que se asume su existencia o, al menos, su conocimiento. Se dice de los números negativos que son los números naturales con el “signo menos delante”. Ya tenemos parejas: un número natural y su correspondiente con “signo menos”, un número natural y su negativo, un número natural y su opuesto. Los números enteros se definen entonces como: los naturales o positivos, los negativos y, además, se añade el número cero atribuyéndole un par de propiedades. Una: “el cero no tiene signo” o “más cero es igual que menos cero”. Y otra: si a un número le sumamos o le restamos cero no pasa nada, el número se queda como está.

\[\mathbb{Z}=\left\{\ldots,-5,\,-4,\,-3,\,-2,\,-1,\,0,\,1,\,2,\,3,\,4,\,5,\ldots\right\}\]

Ahora los alumnos suelen ver con claridad que la suma de un número con su opuesto o correspondiente negativo es cero. De aquí también deducen fácilmente una de las reglas de los signos: “más por menos igual menos”.

Pero de todos modos, en esta Educación Secundaria Obligatoria, la resta de números enteros es una cuestión en la que los alumnos cometen muchos errores. Puede que sea porque no hay una “buena” definición de suma y de resta de números enteros a estos niveles. Se acaba aprendiendo de manera mecánica, utilizando esa intuición en la que sumar un natural es ir hacia la derecha en la recta real y restar un natural es ir hacia la izquierda en la misma recta real. Así, imaginamos que “seis menos siete es igual a menos uno” porque si, comenzando en seis, recorremos “siete pasos” hacia la izquierda acabamos en el número entero “menos uno”.

Asumiendo las reglas de los signos como paso previo, la manera de sumar y restar enteros descrita anteriormente es mucho más razonable que definir la suma y la resta como aparece en alguno libros de texto de matemáticas de secundaria:

La suma de dos números enteros del mismo signo se calcula sumando sus valores absolutos con el mismo signo. La suma de dos números enteros de signos opuestos se calcula restando sus valores absolutos con el signo del sumando de mayor valor absoluto.

Pero es que, además, esta ley es demasiado enrevesada hasta para intentar demostrar otras propiedades de los enteros en un curso de álgebra superior.

Precisamente, en un primer curso de álgebra superior se construye el conjunto de los números enteros más o menos así:

Construcción de los enteros

Si vemos el número entero \(a-b\) como un par \((a,\ b)\), es fácil darse cuenta de que dos pares \((a,\ b)\) y \((c,\ d)\) dan lugar al mismo número entero si \(a-b=c-d\), o lo que es lo mismo, si \(a+d=b+c\), relación esta última que no involucra a enteros, sino sólo a naturales. El conjunto de todos los pares \((x,\ y)\) relacionados con \((a,\ b)\), es decir, aquellos que cumplen \(a+y=b+x\), se llama clase de equivalencia del par \((a,\ b)\) y se designa \([a,\ b]\), que es la misma que \([a-b,\ 0]\) (si \(a\) es mayor que \(b\)) o que \([0,\ b-a]\) (si \(b\) es mayor que \(a\)).

Por ejemplo:

  • \([5,\ 0]=[6,\ 1]=[7,\ 2]=\ldots\) Tomando como representante de esta clase al \([5,\ 0]\) y notando a éste como \(5\), tenemos definido ya el número entero “cinco”.
  • \([0,\ 3]=[1,\ 4]=[2,\ 5]=\ldots\) Tomando como representante de esta clase al \([0,\ 3]\) y notanto a esta éste como \(-3\), tenemos definido ya el número entero “menos tres”.

¡Y así con todos!

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES “Fernando de Mena” de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

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