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La función coseno.

El teorema del coseno

En la figura de abajo se representa un triángulo cualquiera, en el que vamos a considerar sus lados como representantes de vectores libres.

Hagamos el siguiente producto escalar:

\[\vec{a}\cdot\vec{a}=\vec{a}^2=(\vec{b}-\vec{c})\cdot(\vec{b}-\vec{c})\]

Por distributividad se puede escribir:

\[\vec{a}^2=\vec{b}^2+\vec{c}^2-2\vec{b}\cdot\vec{c}\]

Por tanto, utilizando la definición de módulo de un vector y de producto escalar de dos vectores:

\[|\vec{a}|^2=|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2-2|\vec{b}|\cdot|\vec{c}|\cdot\cos{A}\]

La expresión anterior, usando la medida de los lados del triángulo, toma la forma:

\[a^2=b^2+c^2-2bc\cos{A}\]

Fórmula que constituye el llamado teorema del coseno, que dice:

En cualquier triángulo, el cuadrado de uno de sus lados es igual a la suma de cuadrados de los otros dos, menos su doble producto por el coseno del ángulo que forman.

Como caso particular del teorema del coseno, resulta el conocido teorema de Pitágoras. Cuando A=90o, el teorema del coseno se convierte en:

\[a^2=b^2+c^2-2bc\cos{90^o}=b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot0\]

Es decir:

\[a^2=b^2+c^2\]

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES "Fernando de Mena" de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

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Referencia. Conde, J.M.; Sepulcre, J.M. Problemas elementales de olimpiadas matemáticas. Publicaciones Universidad de Alicante, 2013.

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