Home » Geometría » El teorema del coseno
La función coseno.

El teorema del coseno

En la figura de abajo se representa un triángulo cualquiera, en el que vamos a considerar sus lados como representantes de vectores libres.

Hagamos el siguiente producto escalar:

\[\vec{a}\cdot\vec{a}=\vec{a}^2=(\vec{b}-\vec{c})\cdot(\vec{b}-\vec{c})\]

Por distributividad se puede escribir:

\[\vec{a}^2=\vec{b}^2+\vec{c}^2-2\vec{b}\cdot\vec{c}\]

Por tanto, utilizando la definición de módulo de un vector y de producto escalar de dos vectores:

\[|\vec{a}|^2=|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2-2|\vec{b}|\cdot|\vec{c}|\cdot\cos{A}\]

La expresión anterior, usando la medida de los lados del triángulo, toma la forma:

\[a^2=b^2+c^2-2bc\cos{A}\]

Fórmula que constituye el llamado teorema del coseno, que dice:

En cualquier triángulo, el cuadrado de uno de sus lados es igual a la suma de cuadrados de los otros dos, menos su doble producto por el coseno del ángulo que forman.

Como caso particular del teorema del coseno, resulta el conocido teorema de Pitágoras. Cuando A=90o, el teorema del coseno se convierte en:

\[a^2=b^2+c^2-2bc\cos{90^o}=b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot0\]

Es decir:

\[a^2=b^2+c^2\]

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES "Fernando de Mena" de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

Un comentario

Comentar

Su dirección de correo electrónico no será publicada.Los campos necesarios están marcados *

*

Este sitio usa Akismet para reducir el spam. Conoce cómo se procesan los datos de tus comentarios.

x

Check Also

Acceso Universidad Matemáticas II – Integrales y áreas (3)

Este ejercicio de Matemáticas II fue propuesto en junio de 2018 por la Universidad de ...

Acceso Universidad Matemáticas II – Integrales y áreas (2)

Este ejercicio de Matemáticas II fue propuesto en septiembre de 2011 por la Universidad de ...

Acceso Universidad Matemáticas II – Aplicaciones de las derivadas (1)

Este ejercicio de Matemáticas II fue propuesto en septiembre de 2011 por la Universidad de ...

Acceso Universidad Matemáticas II – Matrices, determinantes y sistemas (2)

Este ejercicio de Matemáticas II fue propuesto en junio de 2014 por la Universidad de ...

A %d blogueros les gusta esto: