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La función seno.

El teorema de los senos

El enunciado más o menos formal del teorema de los senos es el siguiente:

En todo triángulo las longitudes de sus lados son proporcionales a los senos de los ángulos respectivos (opuestos a cada lado), siendo la constante de proporcionalidad el diámetro de la circunferencia circunscrita al triángulo.

Dibujando en los triángulos \(ABC\) de las figuras anteriores la altura \(h\), aparecen dos triángulos rectángulos \(CHA\) y \(CHB\), en los que se cumple (se han dibujado triángulos acutángulo y obtusángulo, en el rectángulo también se cumple):

\[\left.\begin{matrix}
h=a\cdot\text{sen}\,B\\
h=b\cdot\text{sen}\,A
\end{matrix}\right\}\Rightarrow a\cdot\text{sen}\,B=b\cdot\text{sen}\,A\Rightarrow\frac{a}{\text{sen}\,A}=\frac{b}{\text{sen}\,B}\qquad(1)\]

Si hubiéramos trabajado con la altura correspondiente al vértice \(B\), por el mismo procedimiento:

\[\frac{c}{\text{sen}\,C}=\frac{a}{\text{sen}\,A}\qquad(2)\]

Igualando (1) y (2), se obtiene:

\[\frac{a}{\text{sen}\,A}=\frac{b}{\text{sen}\,B}=\frac{c}{\text{sen}\,C}\]

Esta es la fórmula conocida por teorema de los senos.

Ahora, en la figura siguiente, hemos dibujado la circunferencia circunscrita al triángulo anterior; luego trazamos el diámetro \(BA’\) y unimos con \(C\), formándose el triángulo \(BCA’\), que es rectángulo en \(C\) (recuerda que el ángulo \(BCA’\) es inscrito, y el arco que va de \(A’\) a \(B\) abarca \(180^{\circ}\); por tanto el ángulo \(BCA’\) vale \(180^{\circ}/2=90^{\circ}\)).

Entonces, aplicando la fórmula del teorema de los senos en el triángulo \(BCA’\), obtenemos:

\[\frac{a}{\text{sen}\,A’}=\frac{2r}{\text{sen}\,90^{o}}\Rightarrow\frac{a}{\text{sen}\,A’}=2r\]

Pero el ángulo \(A\) es igual que el ángulo \(A’\), por ser inscritos y abarcar el mismo arco \(BC\), luego:

\[\frac{a}{\text{sen}\,A}=2r\]

Este resultado lo incorporamos a la fórmula del teorema de los senos y resulta finalmente la expresión completa del teorema de los senos:

\[\frac{a}{\text{sen}\,A}=\frac{b}{\text{sen}\,B}=\frac{c}{\text{sen}\,C}=2r\]

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES "Fernando de Mena" de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

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Referencia. Conde, J.M.; Sepulcre, J.M. Problemas elementales de olimpiadas matemáticas. Publicaciones Universidad de Alicante, 2013.

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