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Una ecuación aparentemente difícil.

Ecuaciones aparentemente difíciles

En matemáticas es muy común resolver ecuaciones. La mejor forma de resolver ecuaciones es hacer muchas ecuaciones. En muchas ocasiones los alumnos se quejan porque ha salido en el examen de matemáticas una ecuación que responde a una tipología, según ellos, desconocida. Y suelen decir o pensar: “menuda ecuación difícil”, “de ese tipo no hemos hecho ecuaciones en clase”, “y encima se espera para poner esa ecuación en el examen de matemáticas”…

Hay ecuaciones aparentemente difíciles. Si no a primera vista, después de hacer algunos cambios en las mismas, como elevar ambos miembros al cuadrado o eliminar denominadores. Pero no lo son. Además no son distintas de las que ya se han explicado. Entran dentro del tipo de ecuaciones que se estudian en clase de matemáticas. Al menos a nivel de Bachillerato. Y hay que intentar hacerlas. No vale quejarse. Tenemos armas suficientes para atacar este tipo de ecuaciones y llegar a resolverlas. Basta con un poco de tesón. Nunca hay que darse por vencidos.

Os dejo algunos ejemplos de ecuaciones de este tipo. Intentad resolverlas, veréis que realmente no son tan difíciles. El procedimiento es el mismo de siempre. Solamente que a veces el aspecto de la ecuación asusta un poco. Pero es eso, apariencia. Y, como sabéis, las apariencias engañan. Yo, un día cualquiera, es probable que publique la resolución de cada una de ellas aquí mismo. Antes de que eso ocurra, intentad resolverlas vosotros. ¡Ánimo y a por ellas!

\[x+\frac{1}{x}=\frac{4}{\sqrt{3}}\]

La solución aquí

La solución aquí

Multiplicando todos los términos por \(\sqrt{3}x\) tenemos:

\[\sqrt{3}x^2+\sqrt{3}=4x\Rightarrow\sqrt{3}x^2-4x+\sqrt{3}=0\]

Resolviendo la ecuación de segundo grado:

\[x=\frac{4\pm\sqrt{(-4)^2-4\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}}{2\sqrt{3}}=\frac{4\pm\sqrt{16-12}}{2\sqrt{3}}=\frac{4\pm\sqrt{4}}{2\sqrt{3}}=\]

\[=\frac{4\pm2}{2\sqrt{3}}=\begin{cases}\displaystyle x_1=\frac{6}{2\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}\\ \displaystyle x_2=\frac{2}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\end{cases}\]

\[\frac{x}{\displaystyle1-\frac{1}{x+\displaystyle\frac{1}{2}}}=\frac{1}{12}\]

La solución aquí

La solución aquí

Como

\[x+\displaystyle\frac{1}{2}=\frac{2x}{2}+\frac{1}{2}=\frac{2x+1}{2}\]

entonces

\[\frac{1}{\displaystyle x+\frac{1}{2}}=\frac{1}{\frac{2x+1}{2}}=\frac{2}{2x+1}\]

Por tanto

\[1-\frac{1}{\displaystyle 1+\frac{x}{2}}=1-\frac{2}{2x+1}=\frac{2x+1}{2x+1}-\frac{2}{2x+1}=\frac{2x-1}{2x+1}\]

Es decir

\[\frac{x}{1-\frac{1}{x+\frac{1}{2}}}=\frac{x}{\frac{2x-1}{2x+1}}=\frac{x(2x+1)}{2x-1}=\frac{2x^2+x}{2x-1}\]

De este modo, la ecuación del principio

\[\frac{x}{1-\displaystyle\frac{1}{x+\displaystyle\frac{1}{2}}}=\frac{1}{12}\]

es equivalente a la ecuación

\[\frac{2x^2+x}{2x-1}=\frac{1}{12}\]

Multiplicando en cruz tenemos:

\[24x^2+12x=2x-1\Rightarrow 24x^2+10x+1=0\]

que es una ecuación de segundo grado. Resolvámosla.

\[x=\frac{-10\pm\sqrt{10^2-4\cdot24\cdot1}}{2\cdot24}=\frac{-10\pm\sqrt{100-96}}{48}=\frac{-10\pm\sqrt{4}}{48}=\]

\[=\frac{-10\pm2}{48}=\begin{cases}\displaystyle x_1=-\frac{8}{48}=-\frac{1}{6}\\\displaystyle x_2=-\frac{12}{48}=-\frac{1}{4}\end{cases}\]

Las soluciones de la ecuación original son por tanto \(\displaystyle x=-\frac{1}{6}\) y \(\displaystyle x=-\frac{1}{4}\).

\[\sqrt{3-\sqrt{3+\sqrt{x-\sqrt{2x+1}}}}=1\]

La solución aquí

La solución aquí

Elevando ambos miembros al cuadrado la ecuación se convierte en

\[3-\sqrt{3+\sqrt{x-\sqrt{2x+1}}}=1\Rightarrow2=\sqrt{3+\sqrt{x-\sqrt{2x+1}}}\]

Si elevamos otra vez al cuadrado ambos miembros de la última igualdad tenemos que

\[4=3+\sqrt{x-\sqrt{2x+1}}\Rightarrow1=\sqrt{x-\sqrt{2x+1}}\]

Volviendo a elevar al cuadrado nos encontramos con la ecuación equivalente

\[1=x-\sqrt{2x+1}\Rightarrow\sqrt{2x+1}=x-1\]

Finalmente, elevando por última vez los dos miembros al cuadrado, tenemos la ecuación \(2x+1=x^2-2x+1\), que es la misma que la ecuación de segundo grado incompleta \(x^2-4x=0\). Extrayendo \(x\) factor común de esta última tenemos \(x(x-4)=0\), de donde se deduce que o bien \(x=0\), o bien \(x-4=0\Rightarrow x=4\).

La posibilidad \(x=0\) no es solución de la ecuación original porque al sustituir en la misma \(x\) por el número \(0\) nos encontraremos con raíces cuadradas de números negativos, que no son números reales:

\[\sqrt{x-\sqrt{2x+1}}=\sqrt{0-\sqrt{2\cdot0+1}}=\sqrt{0-\sqrt{1}}=\sqrt{-1}\]

Por tanto la única solución de la ecuación es \(x=4\). Compruébalo si quieres sustituyendo en la ecuación del principio la incógnita \(x\) por \(4\) y lo verás.

\[\frac{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1}}+\frac{\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1}}=4\sqrt{x^2-1}\]

La solución aquí

La solución aquí

Multiplicando todos los términos de la ecuación por

\[\left(\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1}\right)\left(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1}\right)\]

eliminamos los denominadores y tenemos:

\[\left(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1}\right)\left(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1}\right)+\]

\[+\left(\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1}\right)\left(\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1}\right)=\]

\[=4\sqrt{x^2-1}\left(\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1}\right)\left(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1}\right)\]

O sea:

\[x^2+1+x^2-1+2\sqrt{x^2+1}\sqrt{x^2-1}+\]

\[+x^2+1+x^2-1-2\sqrt{x^2+1}\sqrt{x^2-1}=\]

\[=4\sqrt{x^2-1}\left((x^2+1)-(x^2-1)\right)\]

Simplificando en los dos miembros de la igualdad anterior nos queda una ecuación sencilla:

\[4x^2=8\sqrt{x^2-1}\Rightarrow x^2=2\sqrt{x^2-1}\]

Elevando ambos miembros al cuadrado nos quedará una ecuación bicuadrada:

\[x^4=4(x^2-1)\Rightarrow x^4=4x^2-4\Rightarrow x^4-4x^2+4=0\]

Esta ecuación bicuadrada, utilizando la igualdad notable “cuadrado de una diferencia” de derecha a izquierda, \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\), la podemos escribir así:

\[(x^2-2)^2=0\]

Ecuación esta última equivalente a \(x^2-2=0\), cuyas soluciones son \(x=\sqrt{2}\) y \(x=-\sqrt{2}\), soluciones también de la ecuación original.

\[\left((3+x^2)\cdot x^{-3}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(\frac{1}{3}\cdot(9x^{-3}+x^{-2})\right)^{\frac{1}{2}}\]

La solución aquí

La solución aquí

Los exponentes \(\frac{1}{2}\) a los que están elevados los dos miembros de la ecuación son en realidad raíces cuadradas, con lo que la ecuación es igual que esta otra:

\[\sqrt{(3+x^2)\cdot x^{-3}}=\sqrt{\frac{1}{3}\cdot(9x^{-3}+x^{-2})}\]

Elevando los dos miembros al cuadrado y escribiendo las potencias de exponente negativo en forma de potencias de exponente positivo tenemos:

\[(3+x^2)\cdot\frac{1}{x^3}=\frac{1}{3}\cdot\left(\frac{9}{x^3}+\frac{1}{x^2}\right)\Rightarrow\frac{3+x^2}{x^3}=\frac{3}{x^3}+\frac{1}{3x^2}\]

Multiplicando por \(3x^3\) todos los términos de la ecuación para eliminar los denominadores nos queda:

\[3(3+x^2)=9+x\Rightarrow 9+3x^2=9+x\Rightarrow\]

\[\Rightarrow3x^2-x=0\Rightarrow x(3x-1)=0\Rightarrow\]

\[\Rightarrow\begin{cases}x=0\\ \displaystyle3x-1=0\Rightarrow x=\frac{1}{3}\end{cases}\]

De estas dos posibilidades debemos descartar la primera, \(x=0\), ya que no tiene sentido la expresión \(x^{-n}=\dfrac{1}{x^n}\), pues estaríamos dividiendo por cero y eso está prohibido en matemáticas. Así pues, la única solución de la ecuación es \(\frac{1}{3}\).

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES “Fernando de Mena” de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

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